الجملة والقيمة الحالية للدفعات بفائدة مركبة

الملخص

شرح وتبسيط مفهوم الدفعات المالية في الأجل الطويل بفائدة مركبة، تعريفها وأنواعها وتقسيماتها المختلفة، الدفعات الاحتمالية والدفعات مؤكدة السداد، الدفعات الدائمة (اللانهائية) والدفعات المؤقتة (المحدودة)، الدفعات العاجلة (المعجلة) والدفعات الآجلة (المؤجلة)، الدفعات العادية (مؤخرة السداد) والدفعات الفورية (مقدمة السداد)، الدفعات ذات المبالغ المتساوية (الثابتة) والدفعات ذات المبالغ غير المتساوية (المتغيرة). شرح مفهوم القيمة الحالية للدفعات المتساوية المؤقتة والدائمة، جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة والدائمة، مع التوضيح بالأمثلة التطبيقية وطريقة وخطوات حلها بالتفصيل.

تعريف الدفعات المالية بفائدة مركبة

الدفعات هي مجموعة من المبالغ التي تُدفع بصفة دورية منتظمة على فترات متساوية، أي أن الفاصل الزمني بين كل مبلغ والمبلغ الذي يليـه ثابت.

ويمكن تصنيف الدفعات حسب الأساس المستخدم في التصنيف إلى العديد من الأنواع على حسب أساس التقسيم. وفيما يلي طرق التقسيم المختلفة:

تقسيم الدفعات حسب تأكيد الدفع

يمكن تقسيم الدفعات على أساس تأكيد أو حتمية الدفع إلى نوعين من الدفعات وهما:

1. الدفعات الاحتمالية
2. والدفعات المؤكدة السداد

الدفعات الاحتمالية

والدفعات الاحتمالية هي الدفعات غير المؤكدة الدفع والتي يتوقف دفعها على تحقق شرط معين – أو احتمال معين – وإذا تحقق هذا الشرط تم الدفع، وإذا لم يتحقق هذا الشرط توقف الدفع. أي أن الدفعات الاحتمالية – وكما يدل اسمها – تخضع لمبادئ نظرية الاحتمالات، ومن أمثلة هذا النوع من الدفعات: دفعات المعاش التي يتوقف دفعها على بقاء المستفيد على قيد الحياة حتى يتم دفعها.

الدفعات المؤكدة السداد

والدفعات المؤكدة السداد هي الدفعات التي يتم دفعها بدون الارتباط بأي شرط من الشروط، حيث يتم سداد مبالغها بدون قيد أو شرط.

ومن أمثلتها دفعات الأقساط فـي حالة البيع بالتقسيط.

وسوف يتم دراسة هذا النوع من الدفعات بالتفصيل.

تقسيم الدفعات حسب مدة السداد

دفعات دائمة (لانهائية)

الدفعات الدائمة هي الدفعات التي تُدفع بانتظام ودون توقف ويستمر دفعها إلى ما لانهاية، وهي ليس لها مدة. ومن أمثلتها دفعات ريع الأراضي الزراعية.

وتُعتبر الدفعة الدائمة ليس لها مدة ويرمز لها بالرمز ∞ ما لم يُنص على أنها محدودة أو عدد معين من المبالغ (ن).

دفعات مؤقتة (محدودة)

الدفعات المؤقتة أو المحدودة هي الدفعات التي يتم دفعها لفترة محدودة، ويُرمز لهذه الفترة بالرمز (ن)، وهذه الدفعات تكون محدودة، وغالبًا ما يكون عددها أيضًا مساويًا لمدة الدفع = ن.

ومن أمثلة هذا النوع دفعات الأقساط في حالة شراء سيارة أو شقة تمليك بالتقسيط.

تقسيم الدفعات حسب بدء سریانها

دفعات عاجلة (أو معجلة)

الدفعات العاجلة هي الدفعات التي يبدأ دفع أول مبالغها بمجرد الاتفاق عليها، أي يتم سدادها بدون أي تأجيل. ومن أمثلتها سداد أقساط الشراء بالتقسيط بمجرد إتمام عملية الشراء.

دفعات آجلة (أو مؤجلة)

الدفعات الآجلة هي الدفعات التي يبدأ دفع أول مبالغها بعد فترة من تاريخ الاتفـاق عليها وهذه الفترة يطلق عليها فترة التأجيل، ومن أمثلتهـا دفعات أقساط الشراء بالتقسيط والتي يبدأ سدادها بعد انقضاء فترة سماح معينة، وكذلك في حالة شراء قطعة أرض زراعية لا تُعطي عائدها الدوري إلا بعد فترة زمنية وذلك لوجود رهن على الأرض أو لإصلاح الأرض.

والأصل أن تكون الدفعة عاجلة ما لم يُنص على أنها مؤجلة (أي أن هناك فترة تأجيل تسبق سداد أول دفعة).

تقسيم الدفعات حسب ميعاد السداد

دفعات عادية (مؤخرة السداد)

الدفعات العادية هي الدفعات التي يتم سداد مبالغها بصفة دورية منتظمة أخر كل فترة زمنية من فترات دفع الدفعات، ومن أمثلتها دفع أقساط قرض معين في نهاية كل فترة زمنية.

دفعات فورية (مقدمة السداد)

الدفعات الفورية هي الدفعات التي يتم سداد مبالغها بصفة دورية منتظمة أول كل فترة زمنية من فترات دفع الدفعات، ومن أمثلتها دفع أقساط شراء سلعة معينة أو أرض أو شقة بالتقسيط مع دفع أول قسط بمجرد الشراء (أول الفترة الزمنية).

والأصل أن تكون الدفعة عادية، وذلك ما لم يُنص على أنها فورية أي تُسدد في أول كل فترة زمنية.

تقسيم الدفعات حسب مدة الدفعة

دفعات سنوية

الدفعات السنوية هي الدفعات التي سوف يكون الفاصل الزمني بين كل مبلغ دفعة والمبلغ الذي يليه سنة كاملة، ومن أمثلتها ريع الأراضي الزراعية السنوية.

دفعات غير سنوية

الدفعات غير السنوية هي الدفعات التي سوف يكون الفاصل الزمني بين كل مبلغ دفعة والمبلغ الذي يليه فترة غير سنوية، وقد تكون هذه الفترة أقل من السنة (مجزأة)، أو فترة أكبر من السنة (مجمدة).

وسوف يتم فيما يلي شرح الدفعات السنوية فقط.

تقسيم الدفعات حسب مبلغ الدفعة

دفعات ذات مبالغ متساوية (ثابتة)

وهي الدفعات التي يكون مبلغ الدفعة فيها ثابت في جميـع الدفعات حيث يكون مبلغ الدفعة الأولى مساويًا لمبلغ الدفعة الثانية مساويًا لمبلغ الدفعة الثالثة وهكذا، ويُرمز لمبلغ الدفعة الثابت بالرمز (أ). ومن أمثلتها الأقساط ذات المبالغ المتساوية في حالة الشراء بالتقسيط.

دفعات ذات مبالغ غير متساوية (متغيرة)

وهي الدفعات التي تتسم بعدم ثبات مبلـغ الدفعة، وتختلف مبالغ الدفعات عن بعضها البعض، وتنقسم الدفعات المتغيرة إلى:

1. دفعات متغيرة بانتظام: وهي التي تخضع في تغيرها لقانون رياضي معين مثل قوانين المتواليات الحسابية والمتواليات الهندسية أو أي نوع أخر من المتسلسلات، وقد تكون هذه الدفعات متزايدة أو دفعات متناقصة.
2. دفعات متغيرة بدون انتظام: أي الدفعات التي لا تخضع لقانون ثابت في تغيرها، وهذا النوع من الدفعات يعالج بالقوانين الأساسية لنظرية الفوائد المركبة.

فيما يلي، سوف يتم شرح الدفعات السنوية المتساوية المؤكدة السداد.

القيمة الحالية للدفعات المتساوية

يمكن تعريف القيمة الحالية لمجموعة من الدفعات المتساوية، سواء كانت عادية أو غير عادية، على أنها مجموع القيم الحالية لمبالغ هذه الدفعات المتساوية بعد خصم كل منها عن مدتها، وبمعدل فائدة مركبة متفق عليه.

وعلى ذلك تكون القيمة الحالية لهذه الدفعات عبارة عن مجموع هذه الدفعات المتساوية مطروحًا منه الفائدة المركبة الخاصة بكل منها عن مدة خصمها.

أي أنه يمكن الحصول على القيمة الحالية للدفعات عن طريق إيجاد القيمة الحالية لكل دفعة في بداية المدة، كلٍ على حدة، وتكون القيمة الحالية لهذه الدفعات عبارة عن مجموع هذه القيم الحالية.

أي أن:

القيمة الحالية لعدد ن من الدفعات المتساوية = القيمة الحالية للدفعة الأولى + القيمة الحالية للدفعة الثانية + القيمة الحالية للدفعة الثالثة + ……….. + القيمة الحالية للدفعة رقم ن

ولكن من قانون حساب القيمة الحالية لمبلغ يُستحق بعد (ن) سنة بفائدة مركبة ع فإن القيمة الحالية له تكون:

القيمة الحالية = القيمة الاسمية × (1 + ع) ^-ن

والقيمة الاسمية هنا هي مبلغ الدفعة = (أ)، وموعد سدادها بعد عدد (ن) سنة، أي أن:

القيمة الحالية للدفعة أ = أ × (1+ع)^-ن

بتطبيق هذا القانون على كل الدفعات التي يُنتظر تسديدها بعد (1، 2، 3، 4، …. ن) سنة، فيكون مجموع القيم الحالية لكل الدفعات هو:

القيمة الحالية لعدد (ن) من الدفعات المتساوية (أ) = أ × (1+ع)^-1 + أ × (1+ع)^-2 + أ × (1+ع)^-3 + …………….+ أ × (1+ع)^-ن

أي أن:

مجموع القيمة الحالية للدفعات المتساوية = (أ × (1+ع)^-1) × (1+ (1+ع)^-1 + (1+ع)^-2 + ….. + (1+ع)^-ن+1)

استخدام قانون مجموع المتتالية الهندسية

من قانون حساب مجموع المتتالية الهندسية التي حدها الأول = 1 وأساسها = (1+ع)^-1، يمكن تبسيط مجموع القيم التي بين الأقواس، بحيث نحصل بالنهاية على مجموع القيمة الحالية للدفعات.

وتختلف القيمة التي يتم الحصول عليها باختلاف نوع الدفعات، وذلك بحسب ما إذا كانت دفعات فورية أو عادية أو مؤجلة وهكذا.

في هذا الفصل سوف نناقش كيفية إيجاد القيمة الحالية للأنواع المختلفة من الدفعات المتساوية بطريقتين هما:

1. الطريقة الرياضية باستخدام قانون حساب مجموع المتتالية الهندسية
2. طريقة استخدام الجداول المالية

القيمة الحالية للدفعات المتساوية المؤقتة

يمكن إيجاد القيمة الحالية للدفعات المؤقتة سواء كانت عاجلة أو مؤجلة، عادية أو فورية.

وهذا يعني أن القيمة الحالية للدفعات المؤقتة يمكن تقسيمها إلى أربعة أنواع كما يلي:

الرموز الرياضية المستخدمة

فيما يلي الرموز الرياضية المستخدمة في المعادلات:

ن = مدة الدفع الكلية السنوية (عدد الدفعات السنوية)

د _نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية مبلغها واحد جنيه

م = مدة تأجيل الدفع قبل دفع أول دفعة بالسنوات

أ = مبلغ الدفعة السنوية

أ ر = مبلغ الدفعة السنوية رقم ر

ر = دليل ترتيب الدفعة ويأخذ القيم من 1 إلى ن

د‘ _نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة الفورية مبلغها واحد جنيه

م / د _نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة مدة قدرها م سنة العادية مبلغها واحد جنيه

م / د‘ _نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة مدة قدرها م سنة الفورية مبلغها واحد جنيه

ع = معدل الفائدة السنوي

أ = مبلغ الدفعة المتساوية

أولا: إيجاد القيمة الحالية للدفعات المتساوية المؤقتة باستخدام الطريقة الرياضية

تُسمى هذه الطريقة من الناحية العملية طريقة استخدام الآلة الحاسبة، ويتم إيجاد القيم الحالية لتلك الدفعات باستخدام القوانين التالية التي تم استنتاجها من قاعدة حساب القيمة الحالية لمبلغ وقاعدة مجموع المتتالية الهندسية وهي كما يلي:

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية = أ × (1 – ح ^ن) ÷ ع

حيث: ح ^ن = 1 ÷ (1 + ع) ^ن

وهي ترمز للقيمة الحالية لدفعة مؤقتة عادية مدتها ن ومبلغها واحد جنيه.

ع = معدل الفائدة السنوي.

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة الفورية = أ × (1 + ع) × (1 – ح ^ن) ÷ ع

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة العادية = أ × ح ^م × (1 – ح ^ن) ÷ ع

حيث:

أ = مبلغ الدفعة

ع = معدل الفائدة السنوي

ح ^م = (1 + ع) ^-م

ح ^ن = (1 + ع) ^-ن

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة الفورية = أ × ح ^(م-1) × (1 – ح ^ن) ÷ ع

حيث:

ح ^(م-1) = (1 + ع) ^–(م-1)

ح ^ن = (1 + ع) ^-ن

ثانيًا: إيجاد القيمة الحالية للدفعات المتساوية المؤقتة باستخدام طريقة الجداول المالية

يعتمد استخدام الجداول المالية لإيجاد القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المتساوية بأنواعها الأربعة على استخدام الرمز الحسابي التالي:

د _نΓ بمعدل فائدة سنوي ع أو د _نΓ ع٪، وهو يرمز للقيمة الحالية للدفعات المالية المؤقتة المتساوية العادية مبلغها واحد جنيه وعددها يساوي ن دفعة سنوية.

القوانين الحسابية

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية = أ × د _نΓ ع٪

و:

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة الفورية = أ × (1 + ع) × د _نΓ ع٪

و:

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة العادية = أ × ح ^م × د _نΓ ع٪

و:

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة الفورية = أ × ح ^م-1 × د _نΓ ع٪

حيث:

ح ^م = (1 + ع) ^-م

ح ^(م-1) = (1 + ع) ^–(م-1)

ن = عدد الدفعات السنوية المتساوية

م = مدة التأجيل الكلية بالسنوات قبل السداد

ع = معدل الفائدة المئوي السنوي

مثال على إيجاد القيمة الحالية للدفعات المتساوية المؤقتة

اشترى شخص شقة تمليك واتفق على سداد ثمنها على 20 قسطًا سنويًا متساويًا قيمة القسط 8000 جنيه. فإذا علمت أن معدل الفائدة المركبة المستخدم هو 11% سنويًا، فاحسب الثمن النقدي للشقة اليوم.

المعطيات:

ن = 20

أ = 8000

ع = 11%

د _نΓ ع٪ = ؟؟؟

يلاحظ أن السداد سوف يتم على أقساط سنوية متساوية، أي أنها مبالغ متكررة، أي دفعات سنوية متساوية قيمة كل منها 8000 جنيه. وحيث أن عددها 20 فهي دفعات مؤقتة. وحيث أنه لم ينص على أنها فورية أو عادية فإذن هي دفعات عادية، وايضًا لم ينص على أنها عاجلة أو مؤجلة فإذن هي عاجلة.

الحل باستخدام الجداول المالية:

بما أنه لدينا:

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية = أ × د _نΓ ع٪

أي أن:

ثمن الشقة النقدي = القيمة الحالية لدفعة سنوية متساوية مبلغها 8000 مؤقتة لمدة 20 سنة عاجلة عادية

ثمن الشقة النقدي = أ × د _نΓ ع٪

أي أن:

ثمن الشقة النقدي = 8000 × د _نΓ بمعدل 11%

وبالكشف في الجداول المالية تحت المعدل 11% العمود الخاكس أمام 20 سنة، نجد أن:

ثمن الشقة النقدي = 8000 × 7.9633281 = 63706.6248

الحل باستخدام الآلة الحاسبة:

ثمن الشقة النقدي = القيمة الحالية لدفعة سنوية متساوية مبلغها 8000 مؤقتة لمدة 20 سنة عاجلة عادية

ثمن الشقة النقدي = أ × (1 – ح ^ن) ÷ ع

بالتعويض عن القيم من المعطيات:

ثمن الشقة النقدي = 8000 × (1 – 1.11 ^ن) ÷ 0.11 = 8000 × 7.9633281 = 63706.6284

القيمة الحالية للدفعات المتساوية الدائمة

الدفعات المتساوية الدائمة هي الدفعات التي يستمر دفعها إلى مالانهاية أو بالرموز ∞.

وتنقسم الدفعات الدائمة إلى نوعين من الدفعات هما كما يلي:

دفعات عاجلة

ويتم دفعها بدون أي تأجيل أو بمجرد الاتفاق على سدادها والتي تنقسم بدورها إلى نوعين هما:

1. دفعات عاجلة عادية: وهي التي يتم الاتفاق على دفعها في نهاية كل سنة ويرمز لها بالرمز د _ن ¥ ع٪ والذي يمثل القيمة الحالية لدفعة متساوية دائمة عاجلة عادية مبلغها واحد جنيه.
2. ودفعات عاجلة فورية: وهي الدفعات التي يتم دفعها أول كل سنة ويرمز لها بالرمز د‘ _ن ¥ ع٪ والذي يمثل القيمة الحالية لدفعة متساوية دائمة عاجلة فورية مبلغها واحد جنيه.

دفعات مؤجلة

ويتم دفعها بعد فترة تأجيل أي أنه يسبق سدادها فترة تأجيل قدرها م سنة وهي تنقسم بدورها إلى نوعين هما:

1. دفعات متساوية دائمة مؤجلة عادية: ويرمز لها بالرمز م/د ¥ ع٪
2. دفعات متساوية دائمة مؤجلة فورية: ويرمز لها بالرمز م/د‘ ¥ع٪

أولا: إيجاد القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة باستخدام الطريقة الرياضية

تُسمى هذه الطريقة من الناحية العملية طريقة استخدام الآلة الحاسبة أو برامج الحاسوب، ويتم إيجاد القيم الحالية لتلك الدفعات باستخدام القوانين التالية:

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة العاجلة العادية = أ × 1 ÷ ع

و:

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة العاجلة الفورية = أ × (1 + 1÷ع)

و:

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة المؤجلة العادية = أ × ح ^م × (1÷ع)

حيث: ح ^م = (1 + ع) ^-م

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة المؤجلة الفورية = أ × ح ^م-1 × (1÷ع)

حيث: ح ^م-1 = (1 + ع) ^{– (م-1)}

ثانيًا: إيجاد القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة باستخدام الجداول المالية

تقوم هذه الطريقة على استخدام العمود الثالث في الجداول المالية في إيجاد قيمة المقدارين ح ع٪، ح ^(م-١) ع٪ لقيم ن الصحيحة الموجبة من 1 إلى 50 وتحت المعدلات المختلفة من 1٪ إلى 16%، بدلا من استخدام الآلة الحاسبة أو برامج الحاسوب في حسابها مباشرة.

مثال على إيجاد القيمة الحالية للدفعات السنوية الدائمة

اشترى شخص قطعة أرض زراعية تعطي عائدًا سنويًا قدره 10000 جنيه تدفع آخر كل سنة، وذلك بمعدل فائدة مركبة 10% سنويًا. احسب ثمن الأرض اليوم.

المعطيات:

أ = 10000 جنيه

ع = 10% سنويًا

القيمة الحالية = ؟؟؟

يلاحظ أن هذه الأرض تعطي عائدًا سنويًا، أي أنه عائد متكرر وبالتالي فإن هذا العائد يعتبر دفعات. وحيث أنه لم ينص على مدة دفع معينة لهذه الدفعات فإنها تعتبر دفعات دائمة. وحيث أنه لم ينص على أي فترات تأجيل فإنها تعتبر دفعات عاجلة، وحيث أنها تسدد آخر كل سنة فهي تعتبر دفعات عادية.

من جميع ما سبق يكون المطلوب هو إيجاد القيمة الحالية لدفعة سنوية دائمة عاجلة عادية، حيث:

ثمن الشراء اليوم = القيمة الحالية لدفعة سنوية دائمة عاجلة عادية = أ × (1 ÷ ع)

ثمن الشراء اليوم = 10000 × 1 ÷ 10% = 10000 × (100÷10) = 100000 جنيه.

جملة الدفعات السنوية المتساوية

تنقسم الدفعات السنوية المتساوية إلى قسمين رئيسيين، وهما:

1. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة
2. الدفعات السنوية المتساوية الدائمة

فيما يلي شرحًا مفصلا لطريقة حساب جملة كل نوع منها:

جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة

الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة تنقسم إلى نوعين أساسيين حسب بدء سريان الدفعات هما:

1. دفعات مؤقتة عاجلة
2. دفعات مؤقتة آجلة

وهذه بدورها تنقسم إلى نوعين هما:

• دفعات آجلة قبل السداد: وهذه الدفعات التأجيل فيها لا يؤثر على حساب الجملة
• دفعات آجلة بعد السداد: وهذه التأجيل فيها يؤثر على قيمة الجملة.

كما تنقسم الدفعات المؤقتة حسب ميعاد سداد الدفعات إلى نوعين هما مؤقتة عادية ومؤقتة فورية.

وسوف يتم استعراض طريقة إيجاد جملة الست أنواع التالية من الدفعات المؤقتة:

1. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة العادية
2. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة الفورية
3. والدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد العادية
4. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد الفورية
5. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد العادية
6. والدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد الفورية

الرموز الحسابية المستخدمة

جـد _نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة العادية مبلغها أ ومدتها = عددها = ن حيث جـ تعني جملة، د تعني دفعة.

جّـد _نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة الفورية مبلغها أ ومدتها = عددها = ن حيث: جّـ تعني جملة، د تعني دفعة.

م/ جـد _نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد العادية مبلغها أ.

م/ جّـد _نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد الفورية مبلغها أ.

جـد _نΓ/ م = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد العادية مبلغها أ.

جّـد _نΓ/ م = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد الفورية مبلغها أ.

جـ _نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة العادية مدتها ن ومبلغها واحد جنيه.

جّـ _نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة الفورية مدتها ن ومبلغها واحد جنيه.

أ = مبلغ الدفعة.

ن = عدد مبالغ الدفعات = المدة الكلية بالسنوات.

م = مدة تأجيل السداد، سواء كان قبل السداد أو بعد السداد.

أولا: إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة باستخدام الآلة الحاسبة

جـد _نΓ ع% = أ × ((1 + ع) ^ن – 1 ) ÷ ع

جّـد _نΓ ع% = أ × (1 + ع) × ((1 + ع) ^ن – 1) ÷ ع

م/ جـد _نΓ ع% = جـد _ن ع%

م/ جّـد _نΓ ع% = جّـد _ن ع%

جـد _نΓ ع%/م = أ × (1 + ع) ^م × ((1 + ع) ^ن – 1) ÷ ع

جّـد _نΓ ع%/م = أ × (1 + ع) ^م+1 × ((1 + ع) ^ن – 1) ÷ ع

ثانيًا: إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة باستخدام الجداول المالية

يعتمد إيجاد قيمة المقدار جـد _نΓ ع٪ مباشرة على جميع القيم الموجودة بالعمود الرابع من أعمدة الجداول المالية بقيم ن الصحيحة الموجبة بدءًا من ن = 1 إلى ن = 50 وتحت المعدلات المختلفة بدءًا من ع = 1% إلى ع = 16%.

قوانين إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة عن طريق الكشف في الجداول المالية:

جـدنΓ ع٪ = أ × جـ _ن ع٪

جّـدنΓ ع٪ = أ × (1 + ع) × جـ _ن ع٪

جـدنΓ ع٪/م = أ × (1 + ع) ^م × جـ _ن ع٪

جّـدنΓ ع٪/م = أ × (1 + ع) ^م+1 × جـ _ن ع٪

م/جـدنΓ ع٪ = أ × جـ _ن ع٪

م/جّـدنΓ ع٪ = أ × (1 + ع) × جـ _ن ع٪

مثال على إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة

شخص يودع مبلغ 10000 جنيه في أحد البنوك في آخر كل سنة لمدة 20 سنة. احسب جملة المستحق له في نهاية المدة إذا كان البنك يحسب فوائده بمعدل فائدة مركبة 13% سنويًا.

التمهيد والمعطيات:

المبلغ الذي يتم إيداعه عبارة عن مجموعة من المبالغ السنوية المتكررة لمدة 20 سنة، أي عبارة عن دفعات مؤقتة لمدة 20 سنة. وحيث أن الدفع يتم آخر كل سنة فهذه الدفعات تعتبر دفعات عادية.

أ = 10000

ن = 20 سنة

ع = 13%

والمطلوب إيجاد الجملة أو جـدنΓ ع٪ = ؟؟؟؟

الحل باستخدام الجداول المالية

جـدنΓ ع٪ = أ × جـ _ن ع٪

جملة المستحق في نهاية المدة = 10000 × جـ ₂₀ 13٪

بالكشف في الجداول المالية تحت المعدل 13% العمود الرابع أمام 20 سنة، نجد ما يلي:

جملة المستحق في نهاية المدة = 10000 × 80.9468290 = 809468.290 جنيه

جملة الدفعات السنوية المتساوية الدائمة

الدفعات السنوية المتساوية الدائمة بأنواعها المختلفة سواء كانت عاجلة أو مؤجلة، فورية أو عادية، جملتها إلى مالانهاية يجب أن تساوي مالانهاية. وذلك وفقًا للمبادئ الأساسية ومسلمات الرياضيات.

وبذلك فإن جملة أي دفعة لا نهائية تساوي مالانهاية، وذلك لأن: ن = ∞ (ما لانهاية).

أي أن:

جـ _∞Γ ع% = حّـ _∞Γ ع% = م/ حـ _∞Γ ع% = م/ جّـ _∞Γ ع% = ∞

المراجع

• كتاب الرياضة المالية أو الرياضيات المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
• كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
• موسوعة العلوم المالية والمصرفية، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2023.