الفائدة المركبة وجملة مبلغ بفائدة مركبة

الملخص

شرح مفهوم الفائدة المركبة، الاستهلاك والادخار، تعريف الفائدة المركبة والتمييز بينها وبين الفائدة البسيطة. الجملة والفائدة المركبة لمبلغ وقانون حسابها، العلاقة بين الفائدة البسيطة والمركبة، طرق إيجاد قيمة مُعامل الفائدة المركبة (1+ع) ^ن، حساب عوامل الفائدة المركبة، معدل الفائدة الحقيقي ومعدل الفائدة الاسمي والعلاقة بينهما. مع التوضيح بالأمثلة التطبيقية وطريقة حلها بالتفصيل.

مقدمة عن الاستهلاك والادخار

يعتبر المال أساس الحياة الاقتصادية وهو الأساس المنطقي والمتفق عليه للتبادل التجاري سواء كان سلعيًا أو خدميًا، وكذلك فهو الأساس المقبول لتقدير قيم السلع والخدمات.

ويظهر استخدام الأموال المملوكة للأشخاص سواء كانوا طبيعيين أو اعتباريين في صورتين أساسيتين هما الاستهلاك والادخار.

الاستهلاك

يُعرف الاستهلاك بأنه استخدام الأموال المملوكة للأشخاص في إشباع الحاجات المختلفة لهم حسب سلم التفضيل الخاص بكل منهم، وذلك بالحصول على ما يحتاجونه من سلع وخدمات مختلفة من الغير مقابل التنازل عن هذه الأموال.

الادخار

يُعرف الادخار بأنه عدم استخدام الأموال المملوكة في الاستهلاك بل يتم الاحتفاظ بها لوقت الاحتياج إليها. كما أن الادخار غالبًا ما يأخذ إحدى الصورتين التاليتين:

1. الاكتناز: أي الاحتفاظ بالأموال المملوكة لدى الشخص المالك لها دون أي توظيف لها.
2. الاستثمار: أي توظيف وتشغيل هذه الأموال في المجالات الاقتصادية المختلفة.

وحيث أننا نحيا في ظل اقتصاد متحرك فإن الصورة الثانية من أشكال الادخار تُعتبر وبحق أفضل صور الادخار نظرًا لما تحققه من فائدة لكل من صاحب الأموال، الذي يُطلق عليه المستثمر، وكذلك ما سوف يستفيده الغير من المتعاملين من تلك الأموال المستثمرة، وكذلك ما يمثله من قيمة مضافة للناتج القومي طالما أحسن المستثمر توظيف أمواله.

تعريف الفائدة المركبة

الفائدة المركبة هي العائد على رأس المال المستثمر الذي يتم حسابه في نهاية مدة الاستثمار. ويتم حساب هذا العائد في نهاية كل فترة زمنية على أساس أصل المبلغ المستثمر مضافًا إليه الفوائد المحققة في الفترات الزمنية السابقة.

ومن هذا التعريف نستنتج أن:

1. الفائدة المركبة هي ثمن تشغيل رأس المال كعامل من عوامل الإنتاج.
2. الفائدة المركبة تُحسب على أساس المبلغ الأصلي المستثمر بالإضافة للفوائد التي تم حسابها عن الفترات السابقة.

ومن هذا التعريف نجد أن المبلغ الذي يُحسب على أساسه الفائدة المركبة في تزايد مستمر بقيمة الفوائد المحققة عن الفترات السابقة، وذلك بعكس الفائدة البسيطة التي تتسم بثبات المبلغ الذي يُحسب على أساسه الفائدة وهو أصل المبلغ المستثمر فقط.

بمعنى آخر، يمكن القول أن الفائدة المركبة هي التي يتم فيها الحصول على فائدة على المبلغ الأصلي والفائدة معًا، أي الحصول على فائدة على الفائدة.

ملاحظات للتمييز بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

• في حالة ما إذا كانت مدة الاستثمار فترة استثمارية واحدة، فإن أصل المبلـغ الذي سوف تُحسب على أساسه الفائدة، سواء كانت بسيطة أو مركبة، واحد في الحالتين حيث أنه يساوي أصل المبلغ المستثمر حيث لم تتكون أي فوائد بعد في حالة الفائدة المركبة، فمع ثبات هذا الأصل وثبات المعدل المستخدم فـي حساب الفائدة فإن الفائدة البسيطة = الفائدة المركبة.
• في حالة إذا كانت مدة الاستثمار أكبر من فترة استثمارية واحدة، حتى ولو بكسر فترة زمنية. فمع ثبات العوامل الأخرى المؤثرة في حساب الفائدة، فإن الفائدة المركبة المحسوبة تكون أكبر من الفائدة البسيطة المحسوبة، وذلك لأن أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة المركبة يكون أكبر من أصـل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة البسيطة بقيمة الفوائد المحققة عـن الفترات السابقة.
• الفائدة المركبة المستحقة عن مبلغ معين وبمعدل محدد تكون فـي زيادة مستمرة من فترة استثمارية لأخرى ودون توقف حيث أن أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة المركبة في زيادة مستمرة من فترة استثمارية لأخرى بقيمة الفوائد المحققة عن الفترات السابقة، في حين أن الفائدة البسيطة تكون ثابتة من فترة لأخرى في حالة ثبات العوامل المؤثرة في حسابها لثبات أصل المبلغ المحسوب على أساسه الفائدة البسيطة. ولذا، فإن من وجهة نظر الاستثمار الكفؤ أن الفائدة المركبة يُفضل استخدامها في حالة الاستثمارات طويلة الأجل نسبيًا والتي تتعدى فيهـا مـدة الاستثمار فترة استثمارية واحدة.

الرموز المُستخدمة في قوانين الفائدة المركبة

الرموز المستخدمة في المعادلات وقوانين الفائدة المركبة هي كما يلي:

أ = الأصل أو المبلغ المستثمر

جـ = جملة المبلغ المستثمر في نهاية مدة الاستثمار

ف = مجموع الفوائد المستحقة خلال مدة الاستثمار

ع = معدل الفائدة المركبة الحقيقي السنوي

ع’ = معدل الفائدة المركبة الحقيقي الغير سنوي

والرمز: ع _س = معدل الفائدة المركبة الاسمي السنوي

ن = المدة الكلية بالسنوات الصحيحة

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة

ت = عدد مرات إضافة الفائدة خلال المدة الكلية ن

الجملة بفائدة مركبة لمبلغ

بفرض أن أصل المبلغ المستثمر (أ) يُستثمر بمعدل فائدة مركبة حقيقي سنوي (ع) ولمدة (ن) من السنوات الصحيحة، حيث يتم حساب الفائدة في نهاية كل سنة من السنوات، فإنه يكون لدينا ما يلي:

ف₁ = أ × ع × 1

حيث:

ف₁ = فائدة السنة الأولى

أ = أصل المبلغ المستثمر

ع = معدل الفائدة الحقيقي السنوي

ن = مدة الاستثمار

أي أن:

ف₁ = أ × ع

وبالتالي فإن:

الجملة في نهاية السنة الأولى = أصل المبلغ المستثمر + الفائدة المـستحقة عن السنة الأولى

أي أن:

حـ ₁ = أ + أ × ع = أ × (1 + ع)

والآن لحساب فائدة السنة الثانية، يكون:

فائدة السنة الثانية = الجملة في نهاية السنة الأولى × معدل الفائدة الحقيقي السنوي × مدة الاستثمار (وهي هنا سنة جديدة أي أن المدة = 1 أيضًا).

أي أن:

ف ₂ = أ × (1 + ع) × ع × 1 = أ × ع × (1 + ع)

ومن ثم تصبح الجملة في نهاية السنة الثانية كما يلي:

الجملة في نهاية السنة الثانية = الجملة في نهاية السنة الأولى + الفائدة المستحقة عن السنة الثانية

أي أنه يكون:

جـ ₂ = أ × (1 + ع) + أ × ع × (1 + ع)

أي أن:

جـ ₂ = أ × (1 + ع) ²

وبالمثل، يكون لدينا:

فائدة السنة الثالثة = الجملة في نهاية السنة الثانية × معدل الفائدة × المدة

أي أن:

ف ₃ = أ × (1 + ع) ² × ع × 1

أو:

ف ₃ = أ × ع × (1 + ع) ³

ومن ثم تصبح الجملة في نهاية السنة الثالثة = الجملة في نهاية السنة الثانية + الفائدة المستحقة عن السنة الثالثة

أي أن:

جـ ₃ = أ × (1 + ع) ² + أ × ع × (1 + ع)

أو:

جـ ₃ = أ × (1 + ع) ³

وهكذا، يمكن تعميم هذه القاعدة واستنتاج قانون حساب الجملة بفائدة مركبة كما يلي:

قانون حساب الجملة بفائدة المركبة

جـ _ن = أ × (1 + ع) ^ن

حيث:

جـ _ن = الجملة في نهاية مدة الاستثمار الكلية

أ = أصل المبلغ المستثمر

ع = معدل الفائدة المركبة الحقيقي السنوي

ن = مدة الاستثمار الكلية بالسنوات الصحيحة

وللحصول على قيمة الفائدة المركبة الكلية المستحقة خلال المدة الكلية (ن) فإنه يمكن إيجادها كما يلي:

الفائدة المركبة الكلية المُستحقة خلال المدة الكلية (ن) هي الفرق بين ما حصل عليه المستثمر في نهاية مدة الاستثمار وبين أصل المبلغ في بداية مدة الاستثمار.

أي أن:

ف = حـ – أ

ف = أ × (1 + ع) ^ن –  أ

ومنها يمكن استنتاج قانون حساب الفائدة المركبة الكلية، وهو كما يلي:

قانون حساب الفائدة المركبة الكلية

ف = أ × ((1 + ع) ^ن – 1)

العلاقة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

للتعرف على طبيعة العلاقة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة سنعرض المثال التالي:

مثال على العلاقة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

أودع شخص مبلغ 1000 جنيه في أحد البنوك لمدة 4 سنوات بمعدل فائدة 10%. احسب الفائدة المستحقة وجملة ما يصير له في نهاية كل سنة من السنوات الأربعة:

1. بنظام الفائدة البسيطة
2. بنظام الفائدة المركبة

الحل بنظام الفائدة البسيطة

الفائدة في نهاية كل سنة = 1000 × (10÷100) × 1 = 100 جنيه

الجملة في نهاية أي سنة = المبلغ + فائدة السنة (ثابت) × ترتيب السنة

أو:

الجملة في نهاية أي سنة = جملة السنة السابقة + فائدة السنة (ثابت)

وبالتالي يكون:

الجملة في نهاية السنة الأولى = 1000 + 100 = 1100 جنيه

الجملة في نهاية السنة الثانية = 1000 + 100 × 2 = 1200 جنيه

والجملة في نهاية السنة الثالثة = 1000 + 100 × 3 = 1300 جنيه

والجملة في نهاية السنة الرابعة = 1000 + 100 × 4 = 1400 جنيه

الحل بنظام الفائدة المركبة

الفائدة في نهاية السنة الأولى = 1000 × (10÷100) × 1 = 100 جنيه

الجملة في نهاية السنة الأولى = 1000 + 100 = 1100 جنيه

ومن ثم يكون:

الجملة في نهاية السنة الأولى = الأصل في بداية السنة الثانية

الفائدة في نهاية السنة الثانية = 1100 × (10÷100) × 1 = 110 جنيه

الجملة في نهاية السنة الثانية = 1100 + 110 = 1210 جنيه

ومن ثم يكون:

الجملة في نهاية السنة الثانية = الأصل في بداية السنة الثالثة

ال ثم فائدة في نهاية السنة الثالثة = 1210 × (10÷100) × 1 = 121 جنيه

الجملة في نهاية السنة الثانية = 1210 + 121 = 1331 جنيه

ويكون:

الجملة في نهاية السنة الثالثة = الأصل في بداية السنة الرابعة

الفائدة في نهاية السنة الرابعة = 1331 × (10÷100) × 1 = 133.1 جنيه

الجملة في نهاية السنة الثانية = 1331 + 133.1 = 1464.1 جنيه

وعلى ذلك يتضح أن قيمة الفوائد المركبة التي يحصل عليها المودع وهي 1464.1 جنيه أكبر من تلك الفوائد البسيطة التي يحصل عليها خلال نفس الفترة الزمنية وهي 400 جنيه.

الجدول التالي يوضح مقارنة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة في هذا المثال:

ملاحظات على الفرق بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

1. لا تختلف الفائدة البسيطة عن الفائدة المركبة في السنة الأولى وكذلك الجملة.
2. المبلغ الذي تُحسب عليه الفائدة البسيطة هو دائمًا أصل المبلغ المودع، أما المبلغ الذي تُحسب عليه الفائدة المركبة فهو الرصيد المـستحق في نهاية السنة السابقة (أي جملة السنة السابقة).
3. مع ثبات العوامل المؤثرة في حساب الفائدة، وفي حالة مدة إيـداع (استثمار) أو اقتراض أكبر من فترة واحدة فإن الفائدة المركبة تكون أكبر من الفائدة البسيطة، لأن أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة المركبة يكون أكبر من أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة البسيطة بقيمة الفوائد المحققة عن الفترات السابقة.
4. الرصيد المستحق في نهاية أي سنة = رصيد السنة السابقة + فائدة هذه السنة (في كل من الفائدة البسيطة والمركبة).
5. الرصيد المستحق في نهاية المدة = أصل المبلغ + مجموع الفوائد (في كل من الفائدة البسيطة والفائدة المركبة).
6. الفائدة البسيطة متساوية في جميع السنوات، وعليه يكون:
   • مجموع الفوائد لأي عدد من السنوات (ن) = فائدة السنة × ن
   • فائدة السنة = الفرق بين جملة المبالغ في أي سنين ÷ الفرق بين ترتيب السنين.
7. الفائدة المركبة تزداد في كل سنة بمقدار فائدة السنة السابقة، أي أن الفائدة في أي سنة = جملة فائدة السنة السابقة.
8. الفرق بين أي جملتين متتاليتين بنظام الفائدة المركبة يعتبر فائدة الجملـة الأولى منهما بنفس المعدل والمدة سنة، أي يساوي الفائدة البسيطة للجملة الأولى منهما.

يمكن الاستفادة من الملاحظات السابقة على الفائدة البسيطة والمركبة في الوصول إلى عدد من العلاقات بينهما، نذكر منها ما يلي:

العلاقة الأولى:

معدل الفائدة = الفرق بين أي فائدتين مركبتين (متتاليتين) ÷ الفائدة الأولى منها × 100

أو بالرموز:

ع = (ف ₂ – ف ₁) ÷ ف ₁ × 100

أو مثلاً:

ع = (ف ₉ – ف ₈) ÷ ف ₈ × 100

كما أنه:

معدل الفائدة = الفرق بين أي جملتين مركبتين (متتاليتين) ÷ الجملة الأولى منهما × 100

أو بالرموز:

ع = (جـ ₂ – جـ ₁) ÷ جـ ₁ × 100

أو مثلاً:

ع = (جـ ₈ – جـ ₇) ÷ جـ ₇ × 100

العلاقة الثانية:

المبلغ = (ف ₁ × ف ₁) ÷ (ف ₂ – ف ₁)

حيث ف ₁ و ف ₂ فائدتا السنة الأولى والثانية بنظام معدل الفائدة المركبة.

مثال على العلاقة الرياضية بين الفوائد المركبة

إذا علمت أن الفائدة البسيطة لمبلغ ما في أربع سنوات هي 2000 جنيه وأن الفائدة المركبة في السنة الثانية 550 جنيهًا. فأوجد معدل الفائدة والمبلغ.

الحل

فائدة السنة الأولى = 2000 ÷ 4 = 500 جنيه

وحيث أن الفائدة البسيطة في السنة الأولى تساوي نفس قيمة الفائدة المركبة في السنة الأولى (ف ₁)

المعدل ع = (ف ₂ – ف ₁) ÷ ف ₁ × 100

بالتعويض عن القيم ينتج أن:

المعدل ع = ( 550 – 500 ) ÷ 500 × 100 = 10%

بعد ذلك يتم حساب المبلغ من العلاقة التالية كما يلي:

المبلغ = (ف ₁ × ف ₁) ÷ (ف ₂ – ف ₁)

المبلغ = (500 × 500) ÷ (550 – 500) = 250000 ÷ 50 = 5000 جنيه

طرق إيجاد قيمة مُعامل الفائدة المركبة (1+ع) ^ن

يُلاحظ أنه في الفائدة المركبة ولحساب الجملة المركبة في نهاية الفترة الزمنية (ن) فإن المشكلة التي تقابلنا هي كيفية الحصول على قيمة معامل تجميع الفائدة المركبة وهو المعامل (1 + ع) ^ن

وتوجد عدة طرق لحساب معامل التجميع (1 + ع) ^ن نذكر منها ما يلي:

طريقة الضرب البسيط

وتصلح هذه الطريقة في حالة عندما تكون (ن) صغيرة، ولكنها لا تصلح إذا كانت (ن) كبيرة. كما أن هذه الطريقة مُعقدة، فضلا عن أنها مضيعة للوقت وتعرضنا للأخطاء الحسابية، ومن ثم فلا ينبغي استخدامها.

طريقة اللوغاريتمات

يُمكن باستخدام اللوغاريتمات ذات الستة أو السبعة أرقام الحصول على نتائج دقيقة، وتحتاج هذه الطريقة إلى دراية باستخدام الدوال اللوغاريتمية.

والدالة اللوغاريتمية هي دالة عكسية للدالة الأسية، حيث يُعرف لوغاريتم أي عدد (س) بالنسبة للأساس (أ) بأنه الأس الذي يجب أن يُرفع له (أ) لينتج عنه (س).

وبالتالي فإنه إذا كان لدينا الدالة الأسية التالية:

أ ^ص = س

فإنه يكون التعبير عنها باستخدام الدوال اللوغاريتمية كما يلي:

لو س _أ = ص

ويتم قرائتها كما يلي:

لوغاريتم (س) بالنسبة للأساس (أ) هو الأس (ص). أو: لوغاريتم (س) بالنسبة للأساس (أ) = ص

والتي تُكتب رياضيًا كما يلي:

لو س _أ = ص

ويجب أن يكون الأساس (أ) عدد حقيقي موجب لايساوي الصفر و(س) عدد موجب.

والآن بتطبيق هذا التعريف على معامل الفائدة المركبة (1 + ع) ^ن، نفرض أن:

ص = (1 + ع) ^ن

بأخذ اللوغاريتم لطرفي المعادلة:

لو ص = لو (1 + ع) ^ن

من قوانين اللوغاريتمات، نحصل على:

لو ص = ن × لو (1 + ع)

ويكون ص = العدد المقابل للناتج المحسوب بالآلة الحاسبة لقيمة لوغاريتم (1 + ع).

طريقة الاستكمال

وذلك حينما يتعذر وجود قيمة (ع) في الجدول لوقوعها بين قيمتين متتاليتين للفائدة.

طريقة الضرب المختصرة

وتستخدم هذه الطريقة إذا كانت (ن) خارج نطاق الجدول، وتقوم هذه الطريقة على أساس نظرية الأسس، حيث يتم استخدام القاعدة التالية من قواعد الأسس:

قاعد الضرب: إذا تساوت الأساسات فعند الضرب تُجمع الأسس.

أي أن:

س ^{أ + ب} = س ^أ × س ^ب

طريقة نظرية ذات الحدين

وتساعد هذه الطريقة في إيجاد مفكوك (1 + ع)^ن ، حيث يكون:

( س + ص ) ^ن = مجـ _{(من ر = صفر إلى ن)} (^ن ق _ر) × س ^{ن – ر} × ص ^ر

طريقة الجداول

وطريقة الجداول هي الطريقة الشائعة الاستخدام في جميع المصارف والمؤسسات المالية، ويُعطي الجدول قيمة (1 + ع) ^ن لقيم ن، ع المختلفة.

طريقة استخدام الآلات الحاسبة

وهي الطريقة الشائعة الاستخدام أيضًا بخاصة بعد توفر آلات حاسبة بإمكانيات متقدمة.

وفيما يلي شرحًا مفصلاً لطريقة استخدام الجداول المالية وبعض الأمثلة التطبيقية التي يتم حلها باستخدام الجداول أو باستخدام الآلة الحاسبة:

إيجاد قيمة معامل الفائدة المركبة باستخدام الجداول المالية

نظرًا لطول آجال القروض في عمليات الفائدة المركبة فإنه يترتب عليها تعدد عمليات الضرب واحتمال الوقوع في خطأ فـي استخراج قيمة مُعامل التجميع (1+ع)^ن. لذلك تم إعداد جداول جاهزة يمكن منها إيجاد نواتج المقادير المختلفة التي يحتاجها كل من يعمل في مجال الشؤون المالية والتجارية، وسُميت هذه الجداول باسم “جداول الفائدة المركبة والدفعات”، وهي خمسة مقادير خُصص لكل منها جدول أُعطى رقمًا مسلسلا للتمييز بينها، وأول هذه المقادير هو (ع . ، 1)^ن، وهو يمثل الجملة المركبة لوحدة النقود (الجنيه) بمعدل فائدة ع٪ ولفترة زمنية ن وقد خُصص لهذا المقدار العمود الثاني.

إيجاد الجملة المركبة باستخدام الجداول المالية (الجدول الأول)

العمود الثاني يُعطي الجملة المركبة للجنيه بالمعدلات من 1% إلى 16٪ ولوحدات زمن من 1 إلى 50 ورمزه الرياضي (ع . ، 1)^ن، ورمزه الحسابي ج ^ن ع%.

وعلى ذلك فإن الجملة المركبة لمبلغ مقداره (أ) يُستثمر بمعدل فائدة مركبة ع٪ ولفترة زمنية ن يحسب كما يلي:

جـ _ن = أ (ع . ، 1)^ن = أ × ج ^ن × ع

أي أن:

الجملة المركبة للمبلغ = المبلغ × الجملة المركبة للجنيه

أو:

الجملة المركبة لمبلغ = المبلغ × العدد المُستخرج من العمود الثاني الذي يقع أسفل المعدل (ع٪) وأمام وحدات الزمن المعلومة (ن)

مثال على استخدام الجداول المالية

أوجد جملة مبلغ 10000 جنيه يستثمر بفائدة مركبة لمدة 6 سنوات بمعدل 10%. ثم أوجد مقدار الفائدة المركبة.

المعطيات:

أ = 10000 جنيه

ن = 6 سنوات

ع = 10%

الحل:

يتم حساب الجملة باستخدام المعادلة التالية:

جـ _ن = أ (ع . ، 1)^ن = أ × ج ^ن × ع

بالتعويض عن المعطيات:

جـ _ن = أ (ع .1)⁶ = أ × ج ⁶ × 10%

جـ _ن = 10000 × (1.10)⁶ (جداول الفائدة المركبة – العمود الثاني)

أي أن:

جـ _ن = 10000 × (1.7715610000) = 17715.61 جنيه.

والآن يتم حساب مقدار الفائدة المركبة كما يلي:

مقدار الفائدة المركبة (ف) = 17715.61 – 10000 = 7715.61 جنيه

ملاحظات:

1. صيغة حساب الجملة رقم ن

جـ _ن = أ × ج ^ن × ع %

أي أن:

جـ _ن = جـ ₁ × ج ^ن-1 × ع %

جـ _ن = جـ ₂ × ج ^ن-2 × ع %

……. وهكذا

2. استخدام الآلة الحاسبة ف حساب الجملة

يمكن استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة المقدار (1+ع)^ن مباشرة دون الحاجة لاستخدام الجداول المالية مهما كانت قيمتي ع، ن وذلك عن طريق الضغط على مفتاح الأسس X ^y . فمثلاً:

جـ ₁₀ = جـ ₃ × ج ⁷ × ع %

جـ ₁₀ = جـ ₆ × ج ⁴ × ع %

وهكذا…

3. صيغة حساب الفائدة رقم ن

ف _ن = ف _ر × ج ^ن-ر × ع %

أي أن:

ف ₁₀ = ف ₄ × ج ⁶ × ع %

ف ₁₀ = ف ₃ × ج ⁷ × ع %

… وهكذا.

تعلية الفائدة المركبة أكثر من مرة خلال العام

قد يتفق المتعاقدان على تعلية أو إضافة الفائدة أكثر من مرة خلال العام الواحد، وفي هذه الحالة لا يُذكر المعدل عن سنة كاملة وإنما يُذكر عن جزء من السنة.

فمثلا:

إذا كان المعدل 5٪ عن كل 6 شهور فإن الفائدة تُعلي مرتين فـي السنة (12 ÷ 6 = 2).

وإذا كان المعدل 5٪ عن كل 4 شهور فإن الفائدة تُعلى ثلاث مرات في السنة (12 ÷ 4 = 3).

وإذا كان المعدل 2٪ عن كل 3 شهور فإن الفائدة تُعلى أربع مرات في السنة، (12 ÷ 3 = 4).

ولا يختلف الحال عما سبق إلا في أننا نحوّل المدة إلى وحدات زمنية أو فترات تتفق مع معدل الفائدة المذكور، وذلك بضرب المدة بالسنوات في عدد مرات تعلية الفائدة في السنة.

أي أن:

عدد الفترات = المدة بالسنين × عدد مرات التعلية في السنة

مثال على تعلية الفائدة المركبة أكثر من مرة

احسب الجملة المركبة لمبلغ 3000 جنيه استثمر بفائدة مركبة معدلها 4% كل 3 شهور لمدة 10 سنوات.

المعطيات:

أ = 3000 جنيه

ع = 4% كل 3 شهور

عدد السنوات = 10

الحل

عدد مرات تعلية الفائدة في السنة = 12 ÷ 3 = 4 مرات

عدد الفترات الزمنية التي تتفق مع المعدل = 10 × 4 = 40 مرة

بما أنه لدينا:

جـ _ن = أ × ج ^ن 4%

بالتعويض عن القيم، ينتج أن:

جـ _ن = 3000 × (1.04) ⁴⁰ العمود الثاني أسفل 4% وأمام ن = 40

جـ _ن = 3000 × 4.801020628 = 14403.06 جنيه

إيجاد الجملة المركبة باستخدام الآلات الحاسبة

طريقة استخدام الآلة الحاسبة لحساب معامل التجميع (1 + ع) ^ن، تعتمد هذه الطريقة على إيجاد معامل التجميع (1 + ع) ^ن باستخدام الآلة الحاسبة مباشرة دون الحاجة لاستخدام الجداول المالية وذلـك عند أي قيمة لمعدل الفائدة ع ولأي قيمة للمدة (ن) سواء كانت صحيحة أو تحتوي على كسر وذلك عن طريق الضغط على رمز X ^Y مباشرة.

طريقة التنفيذ:

مثلاً لإيجاد قيمة (1.1075) ¹⁰ نقوم بما يلي: نكتب العد (1.1075) ثم نضرب المفتاح X ^Y ثم نكتب العدد 10 ثم نضغط رمز = ينتج لنا قيمة (1.1075) ¹⁰ والتي تساوي 2.776114336

إيجاد الجملة إذا كانت المدة تحتوي على كسر

للحصول على قيمة (1 + ع) ^ن سواء كانت ن عدد صحيح موجب أو عدد صحيح وكسر أو كسر فقط، باستخدام الجداول المالية التي تُعطي جملة الجنيه بفائدة مركبة في نهاية أحد عشر شهرًا وعشرة شهور وتسعة شهور وهكذا إلى أن يُعطي جملة الجنيه في نهاية شهر واحد.

ويُلاحظ أن وصف الكسور بهذه الصفة (شهر أو أكثر) يكون صحيحًا فقط في حالة معدل الفائدة السنوي، أما في حالة معدل الفائدة النصف سنوي مثلا فإن كسر مثل (3/12) لا يعني ثلاثة شهور بل يعني رُبع أو (1/4) من وحدة الزمن النصف سنوية، وبالتالي فهو يعني ثُمن أو (1/8) من المعدل السنوي. أي أنه يجب التنبيه إلى طبيعة معدل الفائدة لأنها هي التي تحدد طبيعة الكسر.

كذلك يمكن الحصول على قيمة (1 + ع) ^ن إذا كانت (ن) تحتوي على كسر باستخدام الآلة الحاسبة أيضًا وذلك بتحويل الكسر الاعتيادي إلى كسر عشري وتسجيل قيمة (ن) بكاملها بما تتضمنه من كسر عشري.

مثال على إيجاد الجملة عندما تحتوي المدة على كسر

أودع شخص في أحد البنوك مبلغ 4000 جنيه لمدة ثلاث سنوات وستة شهور، وكان البنك يحسب فوائد استثمار مركبة بمعدل 13.5%. فإذا أراد الشخص سحب جملة ماله في البنك في نهاية المدة فما هي جملة ما يسحبه.

الحل باستخدام الآلة الحاسبة

بما أنه لدينا:

جـ _ن = أ × (1.0ع) ^ن

إذن:

جـ _3.5 = 4000 × (1.135) ^3.5 = 6230.824

الحل باستخدام الجداول المالية

جـ _3.5 = 4000 × (1.135) ³ × (1.135) ^0.5

والمقدار (1.135) ³ هي جملة الجنيه بمعدل 13.5% لمدة ثلاث سنوات وقيمته في الجداول المالية تساوي 1.462135. أما المقدار (1.135) ^0.5 فهو يمثل جملة الجنيه بمعدل 13.5% لمدة نصف سنة ويمكن الحصول عليها من ملحق جدول الجملة وقيمته تساوي 1.065364.

وبالتالي تصبح الجملة المطلوبة تساوي:

جـ _3.5 = 4000 × 1.462135 × 1.065364 = 6230.824 جنيه

حساب عوامل الفائدة المركبة

تتضمن معادلة حساب الجملة المركبة أربعة عوامل هي:

• الجملة المركبة
• أصل المبلغ المُستثمر
• معدل الفائدة
• المدة

ويمكننا إيجاد أي عامل من هذه العوامل بمعلوميـة العوامل الثلاث الأخرى وذلك باستخدام القوانين التالية:

قانون حساب أصل المبلغ المستثمر

بما أن:

جـ = أ × (1 + ع) ^ن

فيكون:

أ = جـ ÷ (1 + ع) ^ن

أو:

أ = جـ ÷ ج ^ن ع%

قانون حساب المدة

بما أن:

جـ = أ × (1 + ع) ^ن

أو:

(1 + ع) ^ن = جـ ÷ أ

بأخذ اللوغاريتم لطرفي المعادلة، فيكون:

لو (1 + ع) ^ن = لو (جـ ÷ أ)

وبالتبسيط باستخدام قوانين اللوغاريتمات، ينتج أن:

ن × لو (1 + ع) = لو جـ – لو أ

أي أن:

ن = (لو جـ – لو أ) ÷ لو (1 + ع)

قانون حساب معدل الفائدة

بما أن:

جـ = أ × (1 + ع) ^ن

(1 + ع) ^ن = جـ ÷ أ

بالمثل، نأخذ اللوغاريتم لطرفي المعادلة، فيكون:

لو (1 + ع) ^ن = لو (جـ ÷ أ)

ومن قوانين اللوغاريتمات يكون:

ن × لو (1 + ع) = لو جـ – لو أ

لو (1 + ع) = (لو جـ – لو أ) ÷ ن

ومن ثم يكون:

(1+ع) = العدد المقابل للوغاريتم المحسوب بالآلة الحاسبة.

مثال على إيجاد المبلغ

استثمر تاجر مبلغًا لمدة 15 سنة في مصرف بمعدل فائدة مركبة 9% فصارت جملته المركبة في نهاية المدة 9106.21 جنيه. فكم كان المبلغ المستثمر؟

الحل

بما أن:

جـ _ن = أ × (ج) ^ن ع%

ومن ثم بالتعويض:

9106.21 = أ × (ج) ¹⁵ 9% = أ × 3.642482459

أ = 9106.21 ÷ 3.642482459 = 2500 جنيه

باستخدام حاسبة الجيب:

تحسب قيمة (1.09) ¹⁵ ثم نضعها في الذاكرة M.

نقسم الجملة على ما في الذاكرة فنحصل على المبلغ 2500 جنيه.

مثال على إيجاد المعدل

استثمر تاجر مبلغ 10000 جنيه في أحد النوك لمدة 20سنة فصارت جملته المركبة 56044.10767 جنيه. احسب معدل الفائدة المركبة السنوي.

الحل

بما أنه:

جـ _ن = أ × (ج) ^ن ع%

56044.10767 = 10000 × (ج) ²⁰ ع%

(ج) ²⁰ ع% = 5.60441767

باستخدام جداول الفائدة المركبة:

وبالبحث في العمود الثاني أمام وحدات الزمن 15 نجد أن هذه الجملة تقع أسفل المعدل 9%.

إذن، معدل الفائدة المركبة السنوي = 9%.

مثال على إيجاد المدة

استثمر تاجر مبلغ 4000 جنيه بمعدل فائدة مركبة 8% سنويًا. بعد كم سنة تصبح الجملة المركبة المستحقة له تساوي 18643.82 جنيه؟

الحل

بما أن:

جـ _ن = أ × (ج) ^ن ع%

18643.82 = 4000 × (ج) ^ن 8%

(ج) ^ن 8% = 18643.82 ÷ 4000 = 4.66095714

وبالبحث في العمود الثاني أسفل المعدل 8% نجد أن هذا الرقم يقع أمام المدة 20. أي أن عدد السنوات = 20 سنة.

معدل الفائدة الحقيقي ومعدل الفائدة الاسمي

معدل الفائدة الحقيقي

ومعدل الفائدة الحقيقي هو المعدل الذي مدته تتساوى مع مدة إضافة الفائدة. ويتم حساب الجملة المستحقة مباشرة باستخدام المعدل الحقيقي مع تغيير مدة الاستثمار لتصبح بالفترات الاستثمارية المساوية لمدة المعدل.

ويُرمز للمعدل الحقيقي السنوي بالرمز ع، مثلا: المعدل 9٪ سنويًا والفوائد تضاف كل سنة.

يُلاحظ أن هذا المعدل حقيقي لأن مدة المعدل سنة ومدة إضافة الفائدة سنة، وبالتالي يتم حساب الجملة باعتبار أن مدد الاستثمار بنفس فترات إضافة الفائدة بالسنوات.

وقد يكون المعدل حقيقيًا ولكنه غير سنوي، وفي هذه الحالة يُرمز له بالرمز (ع’)، فعلى سبيل المثال لو أن معدل الفائدة 8٪ نصف سنوي والفوائد تضاف مرتين في السنة، يُلاحظ أن هذا المعدل أيضًا حقيقي لأن مدته نصف سنة، ومدة إضافة الفائدة نصف سنوية، وبالتالي يمكن إيجاد الجملة المطلوبة باستخدام المعدل الحقيقي المعلوم ولكن بشرط تحويل المدة إلى فترات تابعة لمدة المعدل ويرمز لها بالرمز (ت). وفي حالة حساب الفائدة أكثر من مرة خلال السنة يرمز لعدد مرات حساب الفائدة خلال السنة بالرمز (ل).

ويتم تعديل مدة الاستثمار لتطابق مدة إضافة الفائدة. وتُحسب فترات الاستثمار وفقًا لما يلي:

ت = ن × ل

حيث:

ت = المدة بالفترات تابعة للمعدل

ن = مدة الاستثمار بالسنوات

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة

معدل الفائدة الاسمي

ومعدل الفائدة الاسمي (أو سعر الفائدة الاسمي) هو المعدل الذي لا يتساوى مع مدة إضافة الفائدة، ولذا لا يمكن حساب الجملة باستخدامه ويرمز له بالرمز ع _س، على سبيل المثال المعدلات التالية معدلات اسمية:

1. معدل 12% سنويًا، والفوائد تُضاف كل 6 شهور، وهو معدل اسمي لأن مدة إضافة الفائدة نصف سنة، ومدة المعدل سنة.
2. معدل 16٪سنويًا، والفوائد تُضاف 4 مرات في السنة، وهو معدل اسمي لأن مدة إضافة الفائدة ربع سنة، ومدة المعدل سنة.
3. ومعدل 18٪نصف سنوي، والفوائد تضاف شهريًا، وهو معدل اسمي لأن مدة إضافة الفائدة شهريًا، ومدة المعدل كل 6 شهور.

وفي حالة ما إذا كان المعدل اسميًا يتم تحويله إلى معدل حقيقي، ثم تُعدل المدة لتطابق مدة إضافة الفائدة، ويكون:

ع = ع _س ÷ ل

حيث:

ع = المعدل الحقيقي غير السنوي

ع _س = المعدل الاسمي السنوي

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة

مثال على المعدل الاسمي والمعدل الحقيقي

اقترض شخص مبلغ 40000 جنيه من أحد البنوك الذي يحسب فوائده بمعدل 18% سنويًا، على أن تُضاف الفوائد كل 4 شهور لمدة 7 سنوات. احسب المستحق عليه في نهاية المدة.

المعطيات:

أ = 40000

ع _س = 18% سنويًا

ل = 3

ن = 7

جـ = ؟؟

الحل

ابمعدل الموجود هو معدل غير حقيقي فهو معدل فائدة اسمي حيث أن مدته سنوية ووحدة إضافة الفائدة 1/3 سنوية.

يتم تحويل المعدل إلى معدل 1/3 سنوي، ثم تحويل المدة إلى فترات 1/3 سنوية، ثم يتم حساب الجملة المطلوبة.

يما أنه لدينا:

ع = ع _س ÷ ل

بالتعويض: ينتج لنا:

ع = 18% ÷ 3 = 6% (معدل ثُلث سنوي)

ت = ن × ل

ت = 7 × 3 = 21 فترة (ثلث سنوية)

جـ = أ × (1 + ع) ^ن

جـ = 40000 × (1 + 6%) ²¹

بالكشف في الجداول المالية تحت المعدل 6% العمود الثاني أمام المدة 21 فترة.

جـ = 40000 × 4.3995636

جـ = 175982.544

العلاقة بين معدل الفائدة الحقيقي ومعدل الفائدة الاسمي

ع = ( 1 + ع _س ÷ ل ) ^ل – 1

حيث:

ع = المعدل الحقيقي السنوي

ع _س = المعدل الاسمي السنوي

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة.

مثال على العلاقة الرياضية بين المعدل الحقيقي والاسمي

ما هو المعدل الحقيقي السنوي المقابل للمعدل الاسمي السنوي 5% إذا كانت الفائدة تُضاف كل ثلاثة شهور؟

الحل

المعطيات:

ع _س = 5%

ل = 4

بما أنه لدينا المعادلة:

ع = ( 1 + ع _س ÷ ل ) ^ل – 1

ثم بالتعويض عن المعطيات:

ع = ( 1 + 0.05 ÷ 4 ) ⁴ – 1

ع = (1.0125) ⁴ – 1 = 0.050945 أو 5.0945%

المراجع

• كتاب الرياضة المالية أو الرياضيات المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
• كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
• موسوعة العلوم المالية والمصرفية، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2023.