نظرية الشغل والطاقة

أهداف التعلم في قسم: نظرية الشغل والطاقة

بنهاية هذا القسم، سوف تكون قادرًا على:

تطبيق نظرية الشغل والطاقة لإيجاد معلومات حول حركة الجسيم، مع الأخذ في الاعتبار القوى المؤثرة عليه
استخدام نظرية الشغل والطاقة لإيجاد معلومات حول القوى المؤثرة على الجسيم، مع إعطاء معلومات عن حركته

المحتويات

الشغل والطاقة

لقد ناقشنا كيفية إيجاد الشغل المنجز على الجسيم بواسطة القوى المؤثرة عليه، لكن كيف يتجلى هذا الشغل في حركة الجسيم؟ وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة، فإن مجموع محصلة كل القوى المؤثرة على الجسيم، أو القوة الكلية، يحدد معدل التغير في زخم الجسيم، أو حركته. لذلك، يجب أن نفكر في الشغل الذي تقوم به جميع القوى المؤثرة على الجسيم، أو الشغل الصافي، لنرى تأثيره على حركة الجسيم.

لنبدأ بإلقاء نظرة على صافي الشغل المنجز على جسيم أثناء تحركه خلال إزاحة متناهية الصغر، وهي حاصل الضرب القياسي للقوة الكلية والإزاحة:

d W_{net} = {\vec{F}}_{net} \cdot d \vec{r} .

يخبرنا قانون نيوتن الثاني بأن:

{\vec{F}}_{net} = m (d \vec{v} / d t),

لذلك يكون:

d W_{net} = m (d \vec{v} / d t) \cdot d \vec{r} .

بالنسبة للدوال الرياضية التي تصف حركة الجسيم المادي، يمكننا إعادة ترتيب الفروق dt، وما إلى ذلك، ككميات جبرية في هذا التعبير، أي أن:

d W_{net} = m (\frac{d \vec{v}}{d t}) \cdot d \vec{r} = m d \vec{v} \cdot (\frac{d \vec{r}}{d t}) = m \vec{v} \cdot d \vec{v},

حيث استبدلنا السرعة بالمشتق الزمني للإزاحة واستخدمنا الخاصية التبادلية للحاصل الضرب القياسي (النقطي) [المعادلة 2.30]. نظرًا لأن المشتقات والتكاملات العددية ربما تكون مألوفة لك أكثر في هذه المرحلة، فإننا نعبر عن حاصل الضرب النقطي بدلالة الإحداثيات الديكارتية قبل أن نجري التكامل بين أي نقطتين A وB على مسار الجسيم. هذا يعطينا صافي الشغل المبذول على الجسيم:

\begin{matrix} W_{net, A B} & = \int_{A}^{B} (m v_{x} d v_{x} + m v_{y} d v_{y} + m v_{z} d v_{z}) \\ = \frac{1}{2} m {| v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} |}_{A}^{B} = {| \frac{1}{2} m v^{2} |}_{A}^{B} = K_{B} - K_{A} . \end{matrix}

7.8

في الخطوة الوسطى، استخدمنا حقيقة أن مربع السرعة هو مجموع مربعات مكونات متجه السرعة الديكارتية، وفي الخطوة الأخيرة، استخدمنا تعريف الطاقة الحركية للجسيم. تسمى هذه النتيجة المهمة نظرية الشغل والطاقة (الشكل 7.11).

صافي الشغل المنجز على جسيم يساوي التغير في الطاقة الحركية للجسيم:

W_{net} = K_{B} - K_{A} .

7.9

صورة خيول تجر عربة محملة في معرض.

شكل 7.11: تُعد عمليات سحب الخيول من الأحداث الشائعة في معارض الدولة. ينتج عن الشغل الذي تقوم به الخيول التي تسحب الحِمل تغييرًا في الطاقة الحركية للحِمل، مما يؤدي في النهاية إلى زيادة السرعة. (المصدر: تعديل العمل بواسطة “Jassen” / Flickr)

وفقًا لهذه النظرية، عندما يتباطأ جسم ما، تكون طاقته الحركية النهائية أقل من طاقته الحركية الابتدائية، ويكون التغير في طاقته الحركية سالبًا، وكذلك صافي الشغل الذي يتم بذله عليه. إذا تسارع جسم ما، فإن صافي الشغل المبذول عليه يكون موجبًا. عند حساب صافي الشغل، يجب عليك تضمين جميع القوى التي تعمل على كائن. إذا استبعدت أي قوى تعمل على شيء ما، أو إذا قمت بتضمين أي قوى لا تعمل على ذلك الشيء، فستحصل على نتيجة خاطئة.

تكمن أهمية نظرية الشغل والطاقة، والتعميمات الإضافية التي تؤدي إليها، في أنها تجعل إنجاز بعض أنواع الحسابات أبسط بكثير مما يمكن أن يكون من خلال محاولة الحل باستخدام قانون نيوتن الثاني. على سبيل المثال، في قوانين نيوتن للحركة، وجدنا سرعة انزلاق جسم على مستوى عديم الاحتكاك عن طريق الحل باستخدام قانون نيوتن الثاني للتسارع (العجلة) واستخدام المعادلات الحركية لتسريع ثابت، والحصول على:

v_{f}^{2} = v_{i}^{2} + 2 g (s_{f} - s_{i}) sin θ,

حيث s هي الإزاحة أسفل المستوى.

يمكننا أيضًا الحصول على هذه النتيجة من نظرية الشغل والطاقة في المعادلة 7.1. نظرًا لأن قوتين فقط تؤثران على الجسم – وهما الجاذبية والقوة العادية – والقوة العمودية لا تؤدي أي شغل، فإن الشغل الصافي هو مجرد الشغل الذي تقوم به الجاذبية. الشغل dW هو حاصل الضرب القياسي لقوة الجاذبية أو F=mgj والإزاحة dr = dx_iˆ + dyjˆ. بعد أخذ حاصل الضرب النقطي والدمج من الموضع الأولي yi إلى الموضع النهائي yj، نجد صافي الشغل على أنه:

W_{net} = W_{grav} = − m g (y_{f} - y_{i}),

حيث y موجب. تقول نظرية الشغل والطاقة أن هذا يساوي التغير في الطاقة الحركية، أي أن:

− m g (y_{f} - y_{i}) = \frac{1}{2} m (v_{f}^{2} - v_{i}^{2}) .

باستخدام مثلث قائم الزاوية، يمكننا رؤية أن: (yf−yi)=(s_f−s_i) sinθ، لذا فإن النتيجة بالنسبة للسرعة النهائية هي نفسها.

ما الذي يتم اكتسابه باستخدام نظرية الشغل والطاقة؟ الجواب هو أنه ليس كثيرًا بالنسبة لسطح مستوٍ عديم الاحتكاك. ومع ذلك، فإن قانون نيوتن الثاني يسهل حله فقط لهذه الحالة بالذات، بينما تعطي نظرية الشغل والطاقة السرعة النهائية لأي سطح عديم الاحتكاك. بالنسبة للسطح المنحني التعسفي، فإن القوة العادية ليست ثابتة، وقد يكون من الصعب أو المستحيل حل قانون نيوتن الثاني تحليليًا. سواء كانت ثابتة أم لا، بالنسبة للحركة على طول السطح، فإن القوة العمودية لا تقوم بأي عمل أبدًا، لأنها متعامدة مع الإزاحة. يتجنب الحساب باستخدام نظرية الشغل والطاقة هذه الصعوبة وينطبق على المواقف الأكثر عمومية.

استراتيجية حل المسائل باستخدام نظرية الشغل والطاقة

ارسم مخططًا للجسم الحر لكل قوة مؤثرة على الجسم.
حدد ما إذا كانت كل قوة تعمل على الإزاحة في الشكل أم لا. تأكد من الاحتفاظ بأي علامات إيجابية أو سلبية في الشغل المبذول.
اجمع إجمالي مقدار الشغل الذي تقوم به كل قوة.
اجعل هذا الشغل الكلي مساويًا للتغير في الطاقة الحركية وحل أي معامل غير معروف.
راجع إجاباتك. إذا كان الجسم يتحرك بسرعة ثابتة أو تسارع صفري، فيجب أن يكون إجمالي الشغل المنجز صفرًا ويطابق التغير في الطاقة الحركية. إذا كان إجمالي الشغل موجبًا، فيجب أن يكون الجسم قد أدى إلى تسريع أو زيادة الطاقة الحركية. إذا كان الشغل الكلي سالبًا، فلا بد أن الجسم قد أبطأ أو قلل من الطاقة الحركية.

مثال 7.9: تدوير الحلقة الدائرية

يتضمن المسار عديم الاحتكاك لسيارة لعبة حلقة دائرية Loop-the-Loop نصف قطرها R. ما هو الارتفاع، المقاس من أسفل الحلقة، الذي يجب أن توضع فيه السيارة لتبدأ من السكون على قسم الاقتراب من المسار والسير على طول الطريق حول الحلقة؟

شكل 7.12 مسار غير احتكاك لسيارة لعبة به حلقة دائرية. إلى أي ارتفاع يجب أن تبدأ السيارة حتى تتمكن من الالتفاف حول الحلقة دون أن تسقط؟

استراتيجية الحل

يتم رسم مخطط الجسم الحر في الموضع النهائي للكائن في الشكل 7.12. الشغل الثقالي (الناتج عن جاذبية ثقل الجسم) هو الشغل الوحيد المبذول على الإزاحة التي لا تساوي صفرًا. نظرًا لأن الوزن يشير إلى نفس اتجاه الإزاحة الرأسية الصافية، فإن إجمالي الشغل الذي تقوم به قوة الجاذبية يكون موجبًا. من نظرية الشغل والطاقة يحدد ارتفاع البداية سرعة السيارة في الجزء العلوي من الحلقة:

- m g (y_{2} - y_{1}) = \frac{1}{2} m v_{2}^{2},

حيث يظهر الترميز في الشكل المصاحب. في الجزء العلوي من الحلقة، تكون كل من القوة العادية والجاذبية لأسفل ويكون التسارع جاذبًا للمركز، لذلك يكون:

a_{top} = \frac{F}{m} = \frac{N + m g}{m} = \frac{v_{2}^{2}}{R} .

شرط الحفاظ على الاتصال بالمسار هو أنه يجب أن يكون هناك بعض القوة الطبيعية، مهما كانت طفيفة؛ أي أن: N>صفر0بالتعويض عن v₂² و N، يمكننا إيجاد الشرط بالنسبة لـ y₁.

الحل

نفذ خطوات الاستراتيجية للوصول إلى النتيجة المرجوة:

N = − m g + \frac{m v_{2}^{2}}{R} = \frac{− m g R + 2 m g (y_{1} - 2 R)}{R} > 0 or y_{1} > \frac{5 R}{2} .

الدلالة

على سطح الحلقة، يجب أن يوفر المكون الطبيعي للجاذبية وقوة الاتصال العادية تسارع الجاذبية للسيارة التي تدور حول الحلقة. يبطئ المكون المماسي للجاذبية السيارة أو يسرعها. سيكتشف الطفل مدى ارتفاع تشغيل السيارة عن طريق التجربة والخطأ، ولكن الآن بعد أن عرفت نظرية الشغل والطاقة، يمكنك التنبؤ بالحد الأدنى للارتفاع (بالإضافة إلى النتائج الأخرى الأكثر فائدة) من المبادئ الفيزيائية. باستخدام نظرية الشغل والطاقة، ليس عليك حل معادلة تفاضلية لتحديد الارتفاع.

تحقق من فهمك 7.7

لنفترض أن نصف قطر الحلقة الدائرية في المثال 7.9 هو 15 سم وأن السيارة اللعبة تبدأ من السكون على ارتفاع 45 سم فوق القاع. ما سرعتها في الجزء العلوي من الحلقة؟

تحديد قوة التوقف

في المواقف التي تكون فيها حركة الجسم معروفة، ولكن قيم واحدة أو أكثر من القوى المؤثرة عليها غير معروفة، قد تتمكن من استخدام نظرية الشغل والطاقة للحصول على بعض المعلومات حول القوى. يعتمد الشغل على القوة والمسافة التي يعمل فيها، لذلك يتم توفير المعلومات عبر حاصل ضربهم.

مثال 7.10: تحديد قوة التوقف

كتلة الرصاصة تساوي 40 حبة (2.60 جم) وسرعة 1100 قدم / ثانية (335 م / ث). يمكن أن تخترق ثمانية ألواح من خشب الصنوبر بطول 1 بوصة، كل منها بسمك 0.75 بوصة. ما هو متوسط قوة الإيقاف التي يمارسها الخشب، كما هو موضح في الشكل 7.13؟

في الشكل (أ)، تتحرك رصاصة أفقيًا بسرعة 335 مترًا في الثانية باتجاه مجموعة من 8 ألواح مرتبة في كومة أفقية. في الشكل ب، مرت الرصاصة عبر كومة الألواح وتوقفت في نهاية اللوحة الأخيرة. يشار إلى مسافة التوقف على أنها عرض كومة الألواح.

الشكل 7.13 تبذل الألواح قوة لإيقاف الرصاصة. نتيجة لذلك، تبذل الألواح الشغل وتفقد الرصاصة الطاقة الحركية.

استراتيجية الحل

يمكننا أن نفترض أنه في ظل الظروف العامة المذكورة، تفقد الرصاصة كل طاقتها الحركية التي تخترق الألواح، لذلك تنص نظرية الشغل والطاقة على أن طاقتها الحركية الأولية تساوي متوسط قوة التوقف مضروبًا في المسافة التي تم اختراقها. إن التغير في الطاقة الحركية للرصاصة والشغل الصافي لإيقافها كلاهما سالب، لذلك عندما تكتب نظرية الشغل والطاقة، مع صافي الشغل يساوي متوسط القوة مضروبًا في مسافة التوقف، فهذا ما تحصل عليه. السماكة الإجمالية لثمانية ألواح من خشب الصنوبر تخترقها الرصاصة هي 8×0.75 = 6 إنش = 15.2سم.

الحل

بتطبيق نظرية الشغل والطاقة نحصل على:

W_{net} = − F_{ave} Δ s_{stop} = − K_{initial},

لذا يكون:

F_{ave} = \frac{\frac{1}{2} m v^{2}}{Δ s_{stop}} = \frac{\frac{1}{2} (2.6 \times 10^{−3} kg) {(335 m/s)}^{2}}{0.152 m} = 960 N .

الدلالة

كان بإمكاننا استخدام قانون نيوتن الثاني وعلم الحركة في هذا المثال، لكن نظرية الشغل والطاقة تقدم أيضًا إجابة للحالات الأقل بساطة. تمت مناقشة اختراق الرصاصة، التي تم إطلاقها عموديًا إلى أعلى في كتلة من الخشب، في أحد أقسام مقالة آصف شاكور الأخيرة [Bullet-Block Science Video Puzzle. مدرس الفيزياء (يناير 2015]. إذا تم إطلاق الرصاصة وسط الكتلة الميتة، فإنها تفقد كل طاقتها الحركية وتخترق مسافة أبعد قليلاً مما لو أطلقت خارج المركز. والسبب هو أنه إذا اصطدمت الرصاصة بعيدًا عن المركز، فإن لديها القليل من الطاقة الحركية بعد أن تتوقف عن الاختراق، لأن الكتلة تدور. تشير نظرية الشغل والطاقة إلى أن التغيير الأصغر في الطاقة الحركية يؤدي إلى اختراق أصغر. ستفهم المزيد من الفيزياء في هذه المقالة الشيقة بعد الانتهاء من قراءة موضوع الزخم الزاوي.

المراجع

موسوعة الفيزياء العامة، ترجمة وإعداد: د. م. مصطفى عبيد، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2023.
كتاب الفيزياء للجامعات، صموئيل جيه لينغ، جامعة ولاية ترومان، د. جيف ساني، جامعة لويولا ماريماونت ويليام مويبس.