نظرية الاحتمالات – مفهومها وأنواعها وقوانين حسابها

ملخص المحتوى

شرح مفهوم الاحتمالات وتعريف نظرية الاحتمالات ونشأتها التاريخية، شرح المفاهيم الأساسية في الاحتمالات وأنواع الاحتمالات المختلفة، قوانين حساب الاحتمالات مع الشرح بالأمثلة التوضيحية المبسطة.

تعريف نظرية الاحتمالات

نظرية الاحتمالات أو نظرية الاحتمال (بالإنجليزية: Probability Theory) هي النظرية التي تدرس احتمال وقوع الحوادث العشوائية. في علم الرياضيات، الاحتمالات يمكن أن تأخذ أي قيمة عددية محصورة بين الصفر والواحد الصحيح (0،1)، وهي القيمة التي تحدد احتمال وقوع أو عدم وقوع حدث عشوائي معين.

والحدث العشوائي هو الحدث الذي يكون غير مؤكد الوقوع.

يُرمز إلى احتمال وقوع الحدث A بالرمز (P(A.

ويُسمى احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B الاحتمال الشرطي أو الاحتمال المشروط.

والاحتمال الشرطي لوقوع حدث معين هو احتمال وقوع هذا الحدث إذا تحقق هذا الشرط.

نبذة تاريخية

طُور علم الاحتمالات والإحصاء في أشكاله الأولى من طرف العلماء العرب أثناء دراستهم لعلم التشفير، بين القرنين الثامن والثالث عشر الميلاديين. الخليل بن أحمد الفراهيدي ألف كتابًا في هذا الاتجاه.

تستمد نظرية الاحتمالات في الرياضيات جذورها من محاولات فهم وتحليل ألعاب الحظ من طرف جيرولامو كاردانو الذي عاش خلال القرن السادس عشر الميلادي ومن طرف بيير دي فيرما وبليز وباسكال، اللذان عاشا خلال القرن السابع عشر، ومن أمثلة ألعاب الحظ معضلة النقط. وتم استخدام نظرية حساب الاحتمالات في حساب الفرص لظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر الأخرى كالأرقام التي تظهر على حجر النرد.

ويوجد أنواع مختلفة من الاحتمالات، منها الاحتمالات المشروطة والاحتمالات المستقلة والمنفية والمؤكدة. وقد يكون لكل نوع من هذه الأنواع قاعدة رياضية عامة وقواعد فرعية لحساب قيمة الاحتمال.

كما أن نظرية الاحتمالات لها علاقة وثيقة بنظرية العد والتركيبات التعدادية وتستخدم في التباديل والتوافيق.

تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية، أي الظواهر التي تحدث بشكل عشوائي، والعناصر الأساسية لنظرية الاحتمال هي:

1. الأحداث
2. المتغيرات العشوائية
3. العمليات العشوائية

لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاء العينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس وبين نظرية القياس، وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات ما لبث أن أصبح بلا منازع الأساس البديهي لنظرية الاحتمالات الحديثة.

مفهوم الاحتمال

الاحتمال هو إمكانية وقوع حدث ما لسنا على ثقة تامة بأنه سوف يقع.

ويلعب الاحتمال دورًا أساسيًا في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الباحث في التحليل الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية (نوع من أنواع العينات في البحث العلمي) محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة.

وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح، وقيمة الاحتمال تكون مساوية (صفر) عندما يكون مستحيلا، ويطلق عليه في هذه الحالة الاحتمال المستحيل. في حين تكون قيمة الاحتمال مساوية للواحد الصحيح عندما يكون هذا الاحتمال مؤكدًا، ويطلق عليه في هذه الحالة الاحتمال المؤكد.

والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال والمسائل الثلاثة هي:

1. حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
2. حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق وغيرها.
3. طرق إجراء التقديرات المختلفة في البحث العلمي مثل التوزيعات الاحتمالية.

أنواع الاحتمالات

توجد عدة أنواع من الاحتمالات، ويمكن إيجازها فيما يلي:

الاحتمال المنتظم

الاحتمال المنتظم هو الذي تكون فيه احتمالات عناصر الظاهرة محل البحث متساوية، أي أن الاحتمالات تكون موزعة بين عناصر الظاهرة بشكل متساوي.

مثال ذلك، احتمال الحصول على أي عدد من الأعداد {1، 2، 3، 4، 5، 6} عند إلقاء حجر النرد هو: 1/6، بمعنى أن احتمال ظهور أي عدد من تلك الأعداد هو 1/6 لكل منها.

الاحتمالات الضمنية أو الشخصية

الاحتمال الضمني أو الشخصي (بالإنجليزية: Subjective Probability) هو الاحتمال الذي يعتقده شخص ما، إما بحسب خبرته الشخصية في الظاهرة محل البحث أو الدراسة أو بحسب تقديرات خبراء آخرين في تلك الظاهرة. والاحتمال الضمني أو الشخصي يختلف من شخص إلى آخر، وتزداد صحة هذا النوع من الاحتمال عادة بزيادة الخبرة في الظاهرة محل البحث.

ومن أمثلة هذا النوع من الاحتمالات، احتمال أن يربح حصان معين في سباق للخيل بحسب تقدير شخص معين.

الاحتمالات التكرارية النسبية

الاحتمالات التكرارية النسبية (لالإنجليزية: The Relative Frequency) هي الاحتمالات التي يتم تحديدها من خلال تكرار التجربة أو الظاهرة محل البحث أو الدراسة.

ويتم تحديد الاحتمالات التكرارية النسبية كما يلي:

• من خلال حساب نسبة وقوع الحدث على المدى الطويل في التجربة محل البحث، مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث.
• من خلال حساب عدد مرات وقوع الحدث خلال عدد كبير من المحاولات، بحيث يكون احتمال وقوع هذا الحدث = عدد مرات ظهور الحدث مقسوم على عدد مرات إجراء التجربة.

الاحتمالات المشروطة

الاحتمالات المشروطة (بالإنلجيزية: Conditional Probability) هي الاحتمالات التي يكون تقدير وقوع الحدث أو الأحداث فيها يعتمد على وقوع حدث أو أحداث أخرى، وتُسمى في هذه الحالة أحداث غير مستقلة.

ويتم حساب الاحتمالات المشروطة من خلال معادلات رياضية مخصصة.

ومن أمثلتها، احتمال ظهور الصورة في تجربة رمي قطعة نقدية بشرط ظهور الرقم (1) في تجربة رمي حجر النرد.

المفاهيم الأساسية في نظرية الاحتمالات

التجربة العشوائية

التجربة العشوائية (بالإنجليزية: Random Sampling) هي كل عملية نقوم بها نعلم مكوناتها ولكن دون معرفة نتائجها أو دون معرفة أي من تلك النتائج هي التي سوف تقع بالفعل.

وتُعرف التجربة العشوائية في علم الإحصاء بالتجربة الإحصائية، وهي كل عملية تُعطي قياسًا لظاهرة ما.

من أمثلة التجربة العشوائية: تجربة إلقاء قطعة النقود المعدنية، وهي تجربة عناصرها أو نتائجها معلومة وهي المجموعة {صورة ، كتابة}، ولكن عند إلقاء قطعة النقود هذه نحن لا نعلم بشكل مؤكد ما هي نتيجة إلقاء القطعة، بمعنى أنه قد تظهر لنا الصورة أو الكتابة ولا تتوفر لدينا معرفة مؤكدة بالنتيجة.

من الأمثلة الأخرى للتجربة العشوائية هي تجربة إلقاء حجر النرد، وهي تجربة عناصرها {1، 2، 3، 4، 5، 6}، وعند رمي هذا الحجر، نحن لا نعلم بشكل مؤكد ما هي النتيجة وما هو الرقم الذي سيظهر لنا، وبالتالي فهي تجربة عشوائية.

فضاء العينة

فضاء العينة (بالإنجليزية: Sample Space) هو مجموعة العناصر التي تمثل نواتج التجربة العشوائية، ويُطلق عليه أيضًا اسم فضاء الإمكانات أو فضاء النواتج. ويُرمز له بالرمز S.

مثلا، فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة هو = {صورة، كتابة}.

وفضاء العينة لتجربة إلقاء حجر النرد لمرة واحدة هو:

S = {1، 2، 3، 4، 5، 6}

الحدث

الحدث (بالإنجليزية: Event) هو مجموعة جزئية من فضاء العينة، واحتمال وقوع أي حدث في تجربة ما هو نسبة عدد حالات وقوعه بالفعل في التجربة إلى عدد كل الحالات الممكنة فيها.

أي أن احتمال وقوع حدث A، والذي يُرمز له بالرمز (P(A، يمكن حسابه باستخدام المعادلة التالية:

احتمال وقوع الحدث = عدد حالات وقوعه ÷ عدد كل الحالات الممكنة في التجربة

مثال ذلك، حدث ظهور الرقم (5) في تجربة إلقاء حجر النرد يكون مساويًا لحاصل قسمة عدد حالات ظهور هذا العدد (=1) على العدد الكلي للحالات الممكنة في هذه التجربة (=6). وبذلك يكون:

احتمال ظهور العدد (5) في تجربة إلقاء حجر النرد = 1/6= 16.67% تقريبًا.

ويتم التعبير عن هذه المعادلة بالرموز كما يلي:

P(5) = 1 / 6 = 0.1667 = 16.67%

أو في مثال آخر، في نفس تجربة إلقاء حجر النرد، ما هو احتمال ظهور عدد فردي؟

للإجابة على هذا السؤال، نحسب أولا عدد حالات وقوع هذا الحدث، وهي هنا (3)، لأنه في حجر النرد لدينا ثلاثة أرقام فردية وهي {1، 3، 5}. وبالتالي يمكن حساب احتمال وقوع هذا الحدث (ظهور عدد فردي) من خلال قسمة عدد احتمالات وقوع الحدث على العدد الكلي، وبذلك يكون:

احتمال ظهور عدد فردي في تجربة إلقاء حجر النرد = عدد حالات ظهور الأرقام الفردية ÷ العدد الكلي للحالات الممكنة

أي أن:

احتمال ظهور عدد فردي في تجربة إلقاء حجر النرد = 3 ÷ 6 = 0.5 = 50%.

أو يمكن التعبير عن ذلك بالرمز الرياضية كما يلي:

P(Odd) = 3 / 6 = 0.5 = 50%

أنواع الحدث في نظرية الاحتمالات

الحدث البسيط

والحدث البسيط (بالإنجليزية: Simple Event) في نظرية الاحتمالات هو الحدث المكوّن من عنصر واحد فقط، ومن أمثلته حدث ظهور العدد {1} في تجربة إلقاء حجر النرد، ويُرمز له بالرمز (P(1.

الحدث المركب

والحدث المركب أو (بالإنجليزية: Compound Event) في نظرية الاحتمالات هو الحدث الذي يحتوي على أكثر من عنصر، ومن أمثلته حدث ظهور عدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد، حيث تكون عناصره هي {2، 4، 6}.

الحدث المستحيل

أما الحدث المستحيل أو (بالإنجليزية: Impossible Event) في نظرية الاحتمالات فهو الحدث الذي لا يحتوي على أي عنصر، ومن أمثلته حدث ظهور العدد {7} في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدث المؤكد

والحدث المؤكد هو الحدث الذي يضم كافة عناصر فضاء العينة، أي أنه يحتوي على كافة الإمكانات التي تمثل ناتج التجربة العشوائية. ومن أمثلته حدث ظهور عدد أقل من (7) في تجربة إلقاء حجر النرد، وذلك لأن كل الاحتمالات الممكنة هي أعداد أقل من (7) بالفعل وبشكل مؤكد.

الأحداث المتنافية

الأحداث المتنافية أو (بالإنجليزية: Mutually Exclusive Events) في نظرية الاحتمالات هي الأحداث التي لا تشترك في أي عناصر فيما بينها، وتقاطعها عبارة عن المجموعة الخالية فاي (∅)، وتُعرف أيضًا بالأحداث غير المتصلة.

أي أنه لكل حدثين متنافيين يكون:

A ∩ B = ∅

ومن أمثلة الأحداث المتنافية، حدثي ظهور العدد {1} وظهور العدد {2} في تجربة إلقاء حجر النرد.

وذلك لأن ظهور العدد الأول يحتم عدم ظهور العدد الثاني والعكس صحيح.

الأحداث المنتظمة

الأحداث المنتظمة أو (بالإنجليزية: Regular Events) هي الأحداث المتساوية في احتمالات وقوعها.

ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة يكون احتمال ظهور العدد {1} واحتمال ظهور العدد {4} متساوي، وكل منهما يساوي 1/6، وبالتالي فهي أحداث منتظمة.

في الواقع، إن احتمالات وقوع كل الأحداث في تجربة إلقاء حجر النرد متساوية، أي أن:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0.5

الأحداث الشاملة

إذا كان لدينا فضاء عينة ما S وفيه أحداث مختلفة ولتكن: A, B, C، فإن هذه الأحداث الثلاثة تُسمى أحداث شاملة (بالإنجليزية: Exhaustive Events) إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية:

1. أن تكون الأحداث متنافية فيما بينها، أي أن يكون:

A ∩ B = ∅

A ∩ C = ∅

B ∩ C = ∅

2. ألاّ يكون أي حدث منها مجموعة خالية، أي أن يكون:

A ≠ ∅

B ≠ ∅

C ≠ ∅

3. أن يكون اتحادها يساوي فضاء العينة، أي أن يكون:

A ∪ B ∪ C = S

الأحداث المكملة

الحدثان المكمّلان أو (الإنجليزية: Complementary Events)، هما الحدثان اللذان يكملان بعضهما البعض، أي أنهما الحدثان اللذان يكون اتحادهما يساوي فضاء العينة.

أي أن:

الحدثين A, B هما حدثان مكملان لبعضهما البعض إذا كان:

A ∪ B = S

ويُرمز إلى الحدث المكمل للحدث A بالرمز A’، حيث يكون:

A ∪ A’ = S

الأحداث المستقلة

الحدثان المستقلان (بالإنجليزية: Independent Events) في نظرية الاحتمالات هما الحدثان اللذان لا يتأثر أي منهما بالآخر، بمعنى أن وقوع أحدهم لا يتأثر أو يؤثر في وقوع أو عدم وقوع الحدث الآخر.

وفي حالة الأحداث المستقلة، فإن حساب احتمالات وقوعها معًا يكون باستخدام قاعدة الضرب، حيث يكون:

احتمال وقوع الحدثين معًا = احتمال وقوع الحدث الأول × احتمال وقوع الحدث الثاني

ويتم التعبير عن هذه المعادلة بالرموز الرياضية كما يلي:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

ويمكن تعميم قاعدة الضرب لعدة أحداث مستقلة، حيث يكون احتمال وقوع كل الأحداث المستقلة معًا مساويًا لحاصل ضرب احتمال وقوع كل منهم. أي أنه:

P(A ∩ B ∩ C ∩ D ….. ∩ Z) = P(A) * P(B) * P(C) * P(D) * …… * P(Z)

الأحداث غير المستقلة

الأحداث غير المستقلة (بالإنجليزية: Dependent Events) أو الأحداث المشروطة (بالإنجليزية: Conditional Events)، هي الأحداث التي يتأثر وقوع بعضها ببعض، ويُقال لحدثين أنهما غير مستقلين إذا كان وقوع أحدهما يؤثر أو يتأثر بوقوع الحدث الآخر.

من أمثلة الأحداث غير المستقلة، في تجربة سحب ورقة من مجموعة أوراق اللعب دون إرجاع، فعند تكرار هذه التجربة تنقص في كل مرة مجموعة أوراق اللعب ورقة واحدة، وبالتالي يتأثر احتمال سحب الورقة التالية في كل مرة، لأن الاحتمالات تقل عن الاحتمالات الأصلية. فإذا بدأنا التجربة مثلا بسحب ورقة واحدة من مجموعة مكونة من (52) ورقة لعب، يكون احتمال الحصول على ورقة معينة هو 1/52، ولأننا لا نقوم بإعادة الورقة بعد السحب، فيكون احتمال الحصول على ورقة معينة في السحب التالي هو 1/51، وهكذا.

وحيث أن الأحداث غير المستقلة أو المشروطة تؤدي إلى نشوء احتمالات مشروطة، فإنه يتم التعبير عن احتمال وقوعها بطريقة شرطية كما يلي:

احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B

ويتم التعبير عن هذا الاحتمال بالرموز كما يلي:

P(A/B)

وعلامة الكسر هنا ليست عملية قسمة، بل أنها علامة شرطية، وتُقرأ كما يلي:

احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B.

حساب الاحتمال الشرطي

في حالة وجود حدثين غير مستقلين، فإن حساب احتمال وقوع أحدهم بشرط وقوع الحدث الثاني يكون مساويًا لحاصل قسمة احتمال وقوع الحدثين معًا على احتمال وقوع الحدث الثاني.

نفرض أن لدينا احتمال وقوع الحدث A هو (P(A

واحتمال وقوع الحدث B هو (P(B

فيكون احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B هو = حاصل قسمة احتمال التقاطع بين الحدثين (احتمال وقوع الحدثين معًا) / احتمال وقوع الحدث B.

أي أن:

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

ويتم التعبير عن ذلك بالرموز كما في المعادلة الرياضية التالية:

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

وتُقرأ كما يلي:

احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B = احتمال وقوع الحدثين A, B معًا قسمة احتمال وقوع الحدث B.

وإذا كان احتمال وقوع الحدث A غير الشرطي يساوي احتمال وقوع الحدث A المشروط بوقوع الحدث B، فإنه يُطلق على الحدثين A, B أحداث مستقلة. أي أن احتمال وقوع أي منهما لا يعتمد على وقوع الحدث الآخر.

وتفسير ذلك في المثال التالي:

إذا كان الحدثان مستقلين، أي لا يعتمد وقوع أي منهما على الآخر، فإنه يكون:

P(A/B) = P(A)

وبالتالي فإن معادلة حساب الاحتمال تصبح كما يلي:

P(A) = P(A ∩ B) / P(B)

أي أنه يكون:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

وهي نفس معادلة الضرب المستخدمة في إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين.

مثال على الاحتمالات الشرطية

صندوق يحتوي على (14) كرة، منها (8) كرات حمراء و(6) كرات زرقاء. سُحبت كرتان عشوائيًا من الصندوق، الواحدة تلو الأخرى، بدون إرجاع. والمطلوب حساب احتمال أن تكون الكرتان باللون الأزرق والأحمر على الترتيب. (الأولى زرقاء والثانية حمراء).

الحل

نفرض أن الحدث A  = حدث سحب كرة زرقاء اللون (السحبة الأولى).

ونفرض أن الحدث B  = حدث سحب كرة حمراء اللون (السحبة الثانية).

ويكون المطلوب هو حساب احتمال وقوع الحدثين A وB

أي أن المطلوب هو حساب قيمة:

P(A ∩ B)

ولكي يتم حساب هذا الاحتمال، ينبغي أولا حساب كل من:

1. احتمال سحب كرة زرقاء (الحدث الأول) = (P(A، حيث يكون:

P(A) = 6 / 14

3. احتمال سحب كرة حمراء (الحدث الثاني) = (P(B، ولكن في السحبة الثانية، حيث يُشترط إتمام السحبة الأولى، وبالتالي نقص عدد الكرات الإجمالي وأصبح (13) كرة بدلا من (14) كرة: وبالتالي يكون المطلوب هو حساب (P(B/A، حيث يكون:

P(B/A) = 8 / 13

3. الآن يمكن حساب احتمال أن تكون الكرتان باللون الأزرق والأحمر على الترتيب، أي حساب احتمال سحب كرة زرقاء ثم سحب كرة حمراء، ويتم التعبير عن هذا المطلوب بالرموز كما يلي:

P(A ∩ B)

ويكون:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) = (6/14) * (8/13) = 0.264

أما إذا كان المطلوب حساب احتمال سحب كرتين من نفس اللون، فإنه يلزم حساب الاحتمالات كما يلي:

أولا: حساب احتمال سحب كرتين باللون الأزرق

P(A) = 8 / 14

P(B/A) = 7 / 13

P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) = (8/14) * (7/13) = 0.308

ثانيًا: حساب احتمال سحب كرتين باللون الأحمر

P(A) = 6 / 14

P(B/A) = 5 / 13

P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) = (6/14) * (5/13) = 0.165

ثالثًا: حساب احتمال سحب كرتين من نفس اللون

هذا الاحتمال يساوي مجموع الاحتمالين السابقين، لأن احتمال أن تكون الكرتين من نفس اللون يعني أنها إما أن تكون من اللون الأزرق وإما أن تكون من اللون الأحمر، وهذان الحدثان متنافيان، أي أنه يمكن استخدام عملية جمع الاحتمالات في هذه الحالة طالما أننا نريد إيجاد احتمال وقوع أي منهما.

ويتم التعبير عن هذه الحالة بأنه للحدثين المتنافيين A, B يكون احتمال وقوع أي من الحدثين هو مجموع احتمال وقوع كل منهما على حدة، ويمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة الرياضية التالية:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

وبالتالي يكون:

احتمال أن يتم سحب كرتين من نفس اللون هو:

P(A ∪ B) = 0.308 + 0.165 = 0.473

قوانين الاحتمالات

فيما يلي ملخص قوانين حساب الاحتمالات لكل أنواع الاحتمالات:

1. القانون العام لحساب الاحتمالات

في أي تجربة عشوائية، إذا كان لدينا الحدث A، واحتمالات وقوع هذا الحدث هي مجموعة جزئية من العدد الكلي للاحتمالات في التجربة والمتوفرة في فضاء العينة S، فإنه يكون:

احتمال وقوع الحدث A = عدد احتمالات وقوع الحدث A مقسومًا على العدد الكلي للاحتمالات المتوفر في فضاء العينة S

الحدثان المكمّلان أو المتتامان A, A’، والذي يكون فيه وقوع أي منهما يعني عدم وقوع الآخر، يكون مجموع اتحاد المجموعتين الجزئيتين لكل حدث هو المجموعة الكلية الممثلة لفضاء العينة، أي أن:

A ∪ A’ = S

كما يكون:

P(A) ∪ P(A’) = 1

ومن ذلك يمكن استنتاج أن:

P(A) = 1 – P(A’)

P(A’) = 1 – P(A)

2. قانون حساب احتمالات الأحداث المستقلة

القاعدة المستخدمة في حالة الأحداث المستقلة هي قاعدة ضرب الاحتمالات، وهي كما يلي:

احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا = احتمال وقوع الحدث الأول × احتمال وقوع الحدث الثاني

ويتم التعبير عن هذه المعادلة بالرموز الرياضية كما يلي:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

ويمكن تعميم قاعدة الضرب لعدة أحداث مستقلة، حيث يكون احتمال وقوع كل الأحداث المستقلة معًا مساويًا لحاصل ضرب احتمال وقوع كل منهم. أي أنه:

P(A ∩ B ∩ C ∩ D … ∩ Z) = P(A) * P(B) * P(C) * P(D) *… * P(Z)

3. قانون حساب الاحتمالات المشروطة أو احتمالات الأحداث غير المستقلة

عندما يكون لدينا حدثين غير مستقلين، فإن قاعدة حساب احتمال وقوع أحدهم بشرط وقوع الحدث الثاني، ويُسمى الاحتمال المشروط، يتم حسابه بالمعادلة التالية:

احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B = حاصل قسمة احتمال وقوع الحدثين معًا على احتمال وقوع الحدث B.

ويتم التعبير عن ذلك بالرموز كما في المعادلة الرياضية التالية:

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

4. قانون حساب احتمالات الأحداث المتنافية

مجموع احتمالات الأحداث الشاملة يساوي الواحد الصحيح، وذلك لأن اتحادها يساوي المجموعة الكلية لعناصر فضاء العينة S.

الأحداث المتنافية A, B والتي يكون تقاطعها هو المجموعة الخالية ∅:

يكون احتمال اتحادهما هو مجموع احتمال كل حدث، أي أن:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

ويكون احتمال تقاطعهما يساوي صفر، أي أن:

P(A ∩ B) = 0

ويمكن تعميم هاتين القاعدتين لأي عدد من الأحداث المتنافية.

5. قانون حساب احتمالات الأحداث غير المتنافية أو الأحداث المتصلة

لأي حدثين A, B غير متنافيين، أي أنهما حدثين متصلين، يكون احتمال وقوع أي من الحدثين، أو احتمال وقوع أحدهما على الأقل هو احتمال اتحاد A وB، بحيث يكون:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

يُلاحظ أن عملية طرح الاحتمال الناتج عن تقاطع الحدثين جاء نتيجة تكراره في احتمال وقوع كل حدث على حدة، لأن الحدثين متصلين وتقاطعهما ليس المجموعة الخالية كما في الأحداث المتنافية.

كما يمكن تعميم هذه القاعدة على أي عدد من الأحداث غير المتنافية، بجمع كل احتمالات وقوع الأحداث منفردة وطرح كل التقاطعات الممكنة بينها.

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩B) – P(A∩B)

أمثلة على قوانين الاحتمالات

فيما يلي بعض الأمثلة التطبيقية المتنوعة على نظرية الاحتمالات:

مثال على إيجاد فضاء العينة

في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة، يمكن حصر فضاء العينة أو فضاء النواتج كما يلي:

عند إلقاء قطعة النقود يوجد احتمالين وهما {صورة، كتابة}، وفي تجربة إلقاء حجر النرد لدينا عدد (6) احتمالات وهي {1، 2، 3، 4، 5، 6}، وبالتالي يكون إجمالي عدد عناصر فضاء العينة = 2 * 6 = 12 احتمال، وهي عبارة عن تركيبة من كل من الصورة والكتابة مع أحد الأعداد في كل احتمال.

ويمكن التعبير عن فضاء العينة بالرموز كما يلي:

S = {ص1، ص2، ص3، ص4، ص5، ص6، ك1، ك2، ك3، ك4، ك5، ك6}

مثال على القانون العام لحساب الاحتمالات

سُحبت كرة واحدة فقط من كيس يحتوي على (10) كرات متماثلة تمامًا، (3) حمراء، سوداء، (5) زرقاء، فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء؟

الحل: عدد الكرات التي تحقق الاحتمال المطلوب (أي أن تكون حمراء اللون) هو (3) كرات، والعدد الإجمالي لكل الاحتمالات في التجربة العشوائية (الكرات التي يمكن أن تُسحب عشوائيًا) هو (10)، بتطبيق معادلة القانون العام لحساب الاحتمالات:

احتمال وقوع الحدث = عدد احتمالات وقوع الحدث ÷ العدد الكلي للاحتمالات في التجربة، أي أن:

P(A) = M / N = 3 / 10 = 0.3 = 30%

مثال على الأحداث المتنافية

إذا كان احتمال وفاة شخص ما = 0.05 فما هو احتمال أن يعيش هذا الشخص؟

الحل:

نظرًا لأن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المُعطى، أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح.

وحيث أن لأي حدثين متممين يكون:

P(A’) = 1 – P(A)

وبالتالي يكون احتمال أن يعيش هذا الشخص = 1 – احتمال وفاته

احتمال أن يعيش هذا الشخص = 1 – 0.05 = 0.95

مثال على الأحداث المتصلة

إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو 0.45 واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو 0.65 واحتمال النجاح في المادتين معًا هو 0.37، أوجد احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل.

الحل

نفرض أن احتمال النجاح في مادة الرياضيات = (P(A

ونفرض أن احتمال النجاح في مادة الإحصاء = (P(B

واحتمال النجاح في المادتين معًا = (P(A ∩ B

بتطبيق معادلة قانون حساب الاحتمالات للأحداث غير المتنافية أو المتصلة، يكون احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل هو:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.45 + 0.65 – 0.37 = 0.73

يمكن أيضًا قراءة موضوع: التركيبات التعدادية – مبدأ العد الأساسي والتباديل والتوافيق

موسوعة الرياضيات والإحصاء – مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

المصدر

• كتب الرياضيات في الإدارة، البحث العلمي والتحليل المتقدم وتنقيب البيانات، د. مصطفى عبيد، دار الفكر العربي، القاهرة 2017.
• ترجمة مقتطفات من كتب ومقالات علمية باللغة الإنجليزية.