قياس الخطر

المقاييس الكمية للخطر

توجد طريقتين يمكن استخدامها من أجل قياس الخطر وهي:

1. قياس الخطر عن طريق وطأته
2. قياس الخطر عن طريق تكراره

وفيما يلي شرحًا مفصلا لكل منها:

1. قياس الخطر عن طريق وطأته

التوزيع الاحتمالي للخيارات الكلية

من الأوفق أن يقوم مدير الخطر بقياس التوزيع الاحتمالي للخسارات الكلية لكل خطر على حدة خلال المدة التي يُراد إيجاد مقياس للخطر بشأنها. وهي عادة ما تكون سنة مستقبلة. ولبيان طريقة الإفادة من التوزيع الاحتمالي للخسارات الكلية في قياس الخطر، نسوق المثال الفرضي التالي:

نفترض أن وحدة اقتصادية تمتلك مبنى قيمته 10000 جنيه معرض لخسارة للحريق مثلا، وأن المبنى مُقدر له أن يواجه حادث حريق واحد فقط على الأكثر خلال السنة. وأن هناك إحدى عشر حالة من حجم الخسارات المتوقعة خلال هذه السنة تتراوح بين الصفر وثمن المبنى بأكمله.

وفيما يلي التوزيع الاحتمالي لحجم الخسارات المتوقعة خلال العام:

ومن التوزيع الاحتمالي للخسارات الكلية المذكور يمكن لمدير الخطر أن يحصل على بيانات مفيدة وخاصة بالنسبة لما يلي:

1. حساب احتمال إصابة المبنى بخسارة حريق خلال السنة من نوع معين.
2. حساب حجم الخسارة المتوقعة للمبنى إذا ما حدث الحريق.
3. وحساب قيمة الخطر.

طريقة حساب احتمال إصابة المبنى بخسارة حريق

بما أن احتمال عدم حدوث حادث الحريق خلال العام هو 0.9، فإن احتمال حدوث الحريق للمبنى خلال العام هو:

(1 – 0.9 = 0.1)

(راجع بند الحدث المُكمل في موضوع نظرية الاحتمالات).

فإذا كان مدير الخطر متشائمًا أخذ الحد الأعلى لحجم الخسارة المتوقعة كما هو موجود في جدول التوزيع الاحتمالي. أي احتسب الخسارة المتوقعة 10000 جنيه. ولحُسن الحظ فإن احتمال حدوث هذه الخسارة احتمال ضئيل، ذلك لصغر احتمال حدوث حادث الحريق في حد ذاته بالإضافة إنه إذا كان الحادث المُشار إليه هو ذو الخسارة ذات العشرة آلاف جنيه فإنه أصغر بكثير من أية احتمالات أخرى حيث أنه احتمال شرطي، ويمكن الحصول على هذا الاحتمال بقسمة احتمال خسارة العشرة آلاف جنيه (= 0.001) على احتمال الحريق في أي صورة من صوره المختلفة (= 0.1)، وعلى ذلك يكون احتمال إصابة المبنى بخسارة حريق خلال السنة مقدارها 10000 جنيه هو احتمال ضئيل قدره (0.001 ÷ 0.1 = 0.01).

أما إذا أريد مثلا حساب احتمال أن الخسارة التي تقع للمبنى نتيجة حادث الحريق يزيد عن قيمة نصف المبني (أي 6000 جنيه فأكثر). فإن مجموع الاحتمالات سوف يكون مساويًا لما يلي:

مجموع الاحتمالات = 0.003 + 0.002 + 0.002 + 0.002 + 0.001 = 0.01

وعلى ذلك يكون احتمال حدوث خسارة تزيد عن نصف ثمن المبنى = 0.01 ÷ 0.1 =0.1

ولكن من الملاحظ أن الاحتمال يكون كبير أذا كان حدوث الخسارة بألف جنيه. حيث يكون مساويًا = 0.05 ÷ 0.10 = 0.5.

طريقة حساب حجم الخسارة المتوقعة

حجم الخسارة المتوقعة بمعنى متوسط حجم الخسارة في المدى الطويل. وهو يمكن حسابه بضرب كل احتمال في ما يقابله من خسارة وجمع الناتج كالآتي:

حجم الخسارة المتوقعة = 0.9 × صفر + 0.05 × 1000 + …… + 0.001 × 10000

بالجمع نحصل على:

حجم الخسارة المتوقعة = 240 جنيهًا.

ثم بقسمة الناتج على احتمال الحريق الكلى وهو 0.1 ينتج المطلوب.

أي أن:

حجم الخسارة المتوقعة خلال المدى الطويل = مجموع التوقع الرياضي للخسارات ÷ احتمال الحريق الكلي

وبالتعويض ينتج أن:

حجم الخسارة المتوقعة خلال المدى الطويل = 240 ÷ 0.1 = 2400 جنيه.

طريقة حساب قيمة الخطر

يمكن كذلك حساب قيمة الخطر من الجدول المذكور على ضوء حساب معامل الاختلاف للنتائج المتعددة لحوادث الحريق السابقة. فمقاييس الاختلاف والتشتت الخاصة بالتوزيع الاحتمالي التي يسوقها الإحصائيون تفيد جميعًا في حساب قيمة الخطر وخاصة مقياس الانحراف المعياري.

ويُحسب الانحراف المعياري للتوزيع الاحتمالي بالطريقة التالية:

1. يتم حساب متوسط قيمة الخسارة.
2. يتم حساب انحراف كل خسارة عن المتوسط.
3. ثم يتم تربيع قيم الانحرافات التي سبق الحصول عليها.
4. ويتم ضرب مربع الانحرافات في الاحتمالات المقابلة ثم جمع الناتج.
5. الجذر التربيعي للناتج السابق هو الانحراف المعياري.

مثال عملي على طريقة حساب قيمة الخطر

بدلا من المثال المطوّل السابق ذكره، إذا كان لدينا جدول توزيع احتمالي مبسط كالآتي:

فيمكن حساب الانحراف المعياري كالآتي:

1. متوسط القيم = 3000 ÷ 3 = 1000
2. الانحرافات = – 1000 ، صفر ، 1000
3. مربع الانحرافات = (- 1000) ² ، (صفر) ² ، (1000) ²
4. مجموع مربع الانحرافات × الاحتمال = (- 1000) ² × 0.25 + (صفر) ² × 0.5 + (1000) ² × 0.25 = 500000
5. الانحراف المعياري = الجذر التربيعي لـ 500000 = 707 جنيه.

وعند حساب الانحراف المعياري للبيانات الموجودة بالجدول الأصلي للمبنى المذكور سابقًا يوجد أنه = 977 جنيهًا تقريبًا.

وقد وُجد من التجربة والملاحظة أنه إذا وُجد شك أو عدم تأكد كبير بالنسبة لناتج القرار في المستقبل على أساس أنه من الصعب التكهن بأحد النتائج دون غيرها، فإن الانحراف المعياري يكون كبيرًا نسبيًا. أما إذا قل الشك في تحقق حالة بعينها من بين الحالات المطروحة، فإن الانحراف المعياري يكون صغيرًا. هذه الملاحظة قد أدت إلى القول بأن الانحراف المعياري للتوزيع التكراري يصلح كمقياس للخطر بمعنى اختلاف النتائج في هذا التوزيع.

وبالرغم من ذلك، فإنه يُعاب على الانحراف المعياري كمقياس أنه ينتج في صورة رقمية من الصعب الحكم عليها بأنها كبيرة أو صغيرة إلا إذا ما قُورنت بقيمة أخرى، ولذلك قدم الإحصائيون مقياسًا آخر يُطلق عليه معامل الاختلاف (بالإنجليزية: Coefficient of Variation) يتميّز بأنه مقياس نسبي. إذ يمكن الحصول عليه بقسمة الانحراف المعياري على القيمة المتوقعة في المدى الطويل أو القيمة المتوسطة.

المقياس الأمثل للخطر

وعلى ذلك يكون المقياس الأمثل بالنسبة للمثال المبسط أعلاه عند قياس الخطر هو:

معامل الاختلاف = الانحراف المعياري ÷ متوسط القيم

معامل الاختلاف = 707 ÷ 1000 = 0.71

ويمكن قياس الخطر في المثال الأول الخاص بمبنى الوحدة الاقتصادية المُعرض لحريق كالآتي أيضًا:

معامل الاختلاف = 977 ÷ 2400 = 0.41

وعلى هذا فإن معامل الاختلاف كمقياس للخطر يظهر في صورة نسبة مئوية من القيمة المتوسطة أو القيمة المتوقعة في المدى الطويل.

كما أن هناك من الكتّاب – وخاصة رجال التأمين وليس الإحصائيين – من ينادي بقسمة الانحراف المعياري على عدد وحدات الخطر لكي نحصل على معامل اختلاف في صورة مقياس نسبي بالنسبة لوحدة الخطر الواحدة، ومن الملاحظ أن عدد وحدات الخطر يمكن اعتبارها قيمة الشيء موضوع الخطر بالجنيهات وذلك على أساس أن كل جنيه من قيمة الشيء موضوع الخطر يمثل وحدة خطر قائمة بذاتها. وعلى ذلك ففي المثال الرئيسي بكون مقياس الخطر بالنسبة للجنيه الواحد من قيمة المبني كالآتي:

معامل الاختلاف = 977 ÷ 10000 = 0.098

أما بالنسبة للمثال المبسط فيكون:

معامل الاختلاف = 707 ÷ 2000 = 0.355

2. قياس الخطر عن طريق تكراره

التوزيع الاحتمالي لعدد الخسائر

لا يختلف التوزيع الاحتمالي لعدد الخسائر عن التوزيع الاحتمالي للخسارات الكلية السابق الكلام عنه في حالة ما إذا كان كل حادث من حوادث الخسارة له قيمة واحدة فقط وليس له قيم متعددة، أما إذا كانت الوحدة الاقتصادية بجابهها عدد (ق) من وحدات الخطر المنفصلة المعرضة للخطر. وكانت كل وحدة يُنتظر إصابتها بخسارة مرة واحدة على الأقل خلال المدة. وكان احتمال إصابة الوحدة الواحدة بخسارة خلال المدة هي (ل). فإن احتمال أن هذه الوحدة تُصاب بخسائر عددها (ر) خلال المدة يتم حسابها باستخدام: نظريات التباديل والتوافيق. وذلك كما يلي:

الاحتمال = ^ن ق _ر × ل ^ر × (1 – ل) ^{ن – ر}

ومن قوانين التباديل والتوافيق نحصل على:

الاحتمال = ن ! / (ر ! × (ن – ر) !) × ل ^ر × (1 – ل) ^{ن – ر}

تطبيق عملي على قياس الخطر

وعلى سبيل المثال إذا كانت الوحدة الاقتصادية تمتلك أربع وحدات معرضة لخطر الحريق وكان احتمال الحريق ل = 0.25.

فإذا كان مدير الخطر مهتمًا بحساب احتمال حدوث حادث حريق واحد خلال المدة. فإنه يمكن التوصل إلى حساب ذلك بالطريقة التالية:

• عدد طرق حدوث حادث الحريق = ⁴ ق ₁
• احتمال حدوث الحريق = 0.25
• احتمال عدم حدوث الحريق = 1 – 0.25 = 0.75
• الاحتمال الخاص بحريق واحد في المباني الأربعة = ⁴ ق ₁ × (0.25) ¹ × (0.75) ³ = 4 × 0.25 × 0.422 = 0.422

وفي هذا التوزيع الاحتمالي نجد أن:

القيمة المتوقعة = ن × ل

الانحراف المعياري = الجذر التربيعي لـ (ن × ل × (1 – ل))

وعلى ذلك يكون مقياس الخطر كالآتي:

معامل الاختلاف = الانحراف المعياري ÷ عدد الوحدات

ومنها يكون:

معامل الاختلاف = الجذر التربيعي لـ (ن × ل × (1 – ل)) ÷ (ن)

أو بالتبسيط:

معامل الاختلاف = الجذر التربيعي لـ (ل × (1 – ل)) ÷ ن)

ففي المثال السابق يمكن قياس الخطر على أساس احتمال عدد الخسائر كالآتي:

معامل الاختلاف = الجذر التربيعي لـ (4 × 0.25 × 0.75 ÷ 4) = 0.22

ملاحظة

والمشكلة الوحيدة والأساسية التي تجابه مدير الخطر عادة في تحديد قيمة احتمال حدوث الحادث (ل). إذ أن كل مدير خطر سوف يحدد هذه القيمة حسب تفكيره الخاص إلا إذا كان هناك اتفاق تام بين مديري الخطر لتحديد هذه القيمة وخاصة إذا اتفق في كل عام على قيمة معينة حسب معايير إحصائية سليمة بعد تحليل حالة الوحدة الاقتصادية والبيانات المتعلقة بها بالنسبة للحوادث موضوع الدراسة.

هذا ومن الملاحظ أن الخطر يساوي صفرًا إذا ما كان الاحتمال يساوي صفرًا أو يساوي الواحد الصحيح وذلك بتطبيق معادلة معامل الاختلاف عليه.

المراجع

• كتاب الخطر والتأمين – الأصول العلمية والعملية. تأليف: الدكتور سلامة عبد الله، كلية التجارة، جامعة القاهرة، 1967، 1974.
• موسوعة التأمين، العلوم المالية والمصرفية، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2023.