قوانين الرياضيات - ملخص شامل للقوانين مع الشرح | مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

مقدمة

يهدف هذا الملخص إلى شرح وتبسيط معظم قوانين الرياضيات الأكثر استخدامًا في مجالات البحث العلمي للتيسير على الباحثين والعلماء غير المتخصصين في مجال الرياضيات وتبسيط المعرفة بالمسائل والقوانين والعلاقات الرياضية المرتبطة بشكل مباشر أو غير مباشر بمختلف المجالات العلمية الأخرى.

المحتويات

كما يمكن متابعة قسم الرياضيات والقوائم المتخصصة في فروع الرياضيات المختلفة على قناة الأكاديمية متعددة التخصصات، والمخصصة لنشر الفيديوهات ودروس الرياضيات الأساسية المقررة في مختلف المراحل الدراسية بشكل مبسط، من خلال الرابط التالي:

أولويات العمليات الحسابية في قوانين الرياضيات

عند إجراء مجموعة من العمليات الحسابية المركبة، يتم اتباع التسلسل بحسب الأولوية كما يلي:

فك ما بداخل الأقواس
عمليات الأسس والجذور
عمليات الضرب والقسمة
ثم عمليات الجمع والطرح

مع ملاحظة اتباع نفس الترتيب بداخل الأقواس أيضًا.

قوانين الرياضيات المستخدمة في الأشكال الهندسية

المربع

محيط المربع = 4 × طول ضلعه

مساحة المربع = مربع طول ضلعه = (طول ضلعه)²

المستطيل

محيط المستطيل = 2 × ( الطول + العرض )

مساحة المستطيل = الطول × العرض

الدائرة

محيط الدائرة التي نصف قطرها نق = 2 ط نق

مساحة الدائرة التي نصف قطرها نق = ط نق ²

المثلث

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه

محيط المثلث المتساوي الأضلاع = 3 × طول ضلعه

مساحة المثلث = 1/2 × القاعدة × الارتفاع

متوازي الأضلاع

كل ضلعين متقابلين متوازيين متساويين في الطول

كل زاويتين متقابلتين متساويتين في القياس

القطران بُنصّف كل منهما الآخر، والقطران غير متساويين والقطران غير متعامدين

مجموع أي زاويتين متتاليتين = 180 درجة.

محيط متوازي الأضلاع = 2 × ( طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني )

مساحة متوازي الأضلاع = طول أحد أضلاعه × أقصر مسافة (=المسافة العمودية) بينه وبين الضلع الموازي له.

قوانين الرياضيات المستخدمة في المجسمات

المكعب

المساحة الجانبية للمكعب = 4 × (طول الضلع)²

المساحة الكلية للمكعب = 6 × (طول الضلع)²

حجم المكعب = طول الضلع × نفسه × نفسه = (طول الضلع)³

متوازي المستطيلات

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = مجموع مساحات أسطحه

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع

الأسطوانة الدائرية القائمة

المساحة الجانبية للأسطوانة الدائرية القائمة = 2 × ط × نق × الارتفاع

المساحة الكلية للأسطوانة الدائرية القائمة = (2 × ط × نق × الارتفاع) + (2 ط نق²) = 2 ط نق × ( نق +ع)

حجم الأسطوانة الدائرية القائمة = ط × نق² × الارتفاع

الهرم المنتظم

الهرم الثلاثي (قاعدته مثلث وأوجهه مثلثات)

والهرم الرباعي (قاعدته شكل رباعي وأوجهه مثلثات)

المساحة الكلية للهرم المنتظم = مساحة القاعدة + (مجموع مساحات المثلثات الجانبية)

حجم الهرم المنتظم = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع

المخروط

المساحة الكلية = مساحة القاعدة (=ط نق²) + المساحة الجانبية

حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع = 1/3 × ط × نق² × ع

(قاعدته دائرة)

قوانين الرياضيات في النسبة والتناسب

النسبة هي مقارنة بين عددين أو كميتين مختلفتين من نفس النوع.

النسبة بين أي عددين = العدد الأول ÷ العدد الثاني

يُسمى العدد الأول: البسط، ويُسمى العدد الثاني: المقام.

التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر.

مثال التناسب:

أ / ب = ج / د

من خواص النسبة والتناسب

إذا ضربنا حدي النسبة في عدد أو قسمناه على عدد، فإن النسب الناتجة تساوي النسبة الأصلية.

عند ضرب نسبتين يتم ضرب البسط × البسط وكذلك المقام × المقام
أ / ب × س / ص = أ × س ÷ ب × ص

عند قسمة النسب يتم تبديل النسبة الثانية (البسط والمقام) وتحويل العملية إلى ضرب:

أ / ب ÷ س / ص = أ / ب × ص/ س = (أ × ص) ÷ (ب × س)

جمع أو طرح النسب المتساوية في المقام

أ / س + ب / س = ( أ + ب ) / س

أ / س – ب / س = ( أ – ب ) / س

جمع أو طرح النسب غير المتساوية في المقام

أ / س + ب / ص = ( أ × ص + ب × س ) / (س × ص)

أ / س – ب / ص = ( أ × ص – ب × س ) / (س × ص)

قاعدة حاصل ضرب الطرفين والوسطين

لأي تناسب بين نسبتين، فإن:

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

أي أنه إذا كان:

أ / ب = ج / د

فإن:

أ × د = ج × ب

النسبة المئوية في قوانين الرياضيات

النسبة المئوية هي النسبة من عدد 100 من الأجزاء، وقيمة النسبة المئوية تساوي قيمة البسط الذي مقامه يساوي مئة، ويُرمز لها بالرمز %، وتٌقرأ بالمائة، مثلا: نسبة 35% هي نسبة مئوية قيمتها = 35 ÷ 100، وتُقرأ: خمسة وثلاثون بالمائة.

يمكن كتابة النسبة المئوية على شكل كسر عشري كما يلي:

35 % = 35 ÷ 100 = 0.35

قانون حساب النسبة المئوية

س % = س ÷ 100

س ÷ ص = س ÷ ص × 100 %

مثال: 6 ÷ 8 = 0.75 × 100 % = 75 %

قانون حساب النسبة المئوية للزيادة في أي قيمة

نسبة الزيادة = قيمة الزيادة ÷ القيمة الأصلية × 100 %

مثال: الزيادة بقيمة 17 على القيمة الأصلية 80 هي زيادة بنسبة 17/80 × 100 % = 21.25%

قوانين معادلات الدرجة الثانية

تشتمل قوانين الرياضيات المتخصصة في فرع الجبر على مجموعة من معادلات الدرجة الثانية العامة والخاصة، ومنها:

قوانين تربيع وضرب ما بين الأقواس

(س + ص)² = س² + 2 × س × ص + ص²

(س – ص)² = س² – 2 × س × ص + ص²

و:

(س + ص) (م + ن) = س × م + س × ن + ص × م + ص × ن

قانون الفرق بين المربعين

س² – ص ² = (س + ص) × (س – ص)

قانون الفرق بين المكعبين

س³ – ص ³ = (س – ص) × (س² + 2 س ص + ص²)

قانون مجموع المكعبين

س³ + ص ³ = (س + ص) × (س² – 2 س ص + ص²)

القانون العام لحل المعادلة من الدرجة الثانية

لأي معادلة:

أ س² + ب س + م = صفر

س = ( – ب ± الجذر التربيعي لـ ( ب² – 4 × أ × م ) ) ÷ 2 × أ

قوانين الأسس

لأي عدد (أ) يكون: أ^س = أ × أ × أ × أ × أ × ………………..× أ (س من المرات)

مثلا: 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

قاعدة ضرب الأعداد المتساوية في الأساس

عند الضرب نجمع الأسس

أ^س × أ^ص = أ^{س + ص}

قاعدة قسمة الأعداد المتساوية في الأساس

عند القسمة نطرح الأسس

أ^س ÷ أ^ص = أ^{س – ص} (أ ≠ صفر)

عند الرفع لأكثر من قوى تُضرب القوى ببعضها

( أ^س) ^ص = أ^س × ^ص

توزيع الأسس على عملية الضرب

( أ × ب )^س = أ ^س × ب^س

توزيع الأسس على عملية القسمة

( أ / ب )^س = أ^س ÷ ب^س (مع ملاحظة أن: ب ≠ صفر)

قواعد تغيير الإشارة في الأسس

تغيير إشارة الأسس بالانتقال من البسط إلى المقام أو العكس

1 / أ ^س = أ ^{– س}

1 / أ ^{– س} = أ ^س

تغيير إشارة الأسس في العدد النسبي بتغيير البسط محل المقام والعكس

( أ / ب )^{– س} = ( ب / أ )^س

أ ^صفر = 1 ( أ ≠ صفر)

تغيير إشارة العدد السالب المرفوع لأسس زوجية من سالبة إلى موجبة

إذا كانت س عدد زوجي فإن: ( – أ )^س = أ ^س

إشارة العدد السالب المرفوع لأسس فردية تبقى كما هي

إذا كانت س عدد فردي فإن: ( – أ )^س = – أ ^س

قواعد جمع وطرح الأسس

لا يتم توزيع الأسس على عمليات الجمع أو الطرح، أي أن:

( أ + ب )^س ≠ أ^س + ب^س

( أ – ب )^س ≠ أ^س – ب^س

قوانين الجذور

لأي عدد حقيقي (أ)، ولأي عدد صحيح موجب (ن)، يكون:

أ ^1/ن= جذر أ للدليل ن

من المتعارف عليه أن الدليل 2 لا يتم كتابته، أي أن جذر أ = جذر أ للدليل 2 (بشكل افتراضي)

(جذر أ للدليل ن)^ن = أ

(جذر صفر للدليل ن) = صفر

و:

(جذر لدليل زوجي لأي عدد سالب) = عدد غير معروف

(جذر لدليل فردي لأي عدد سالب) = عدد سالب

قاعدة توزيع الجذور عند الضرب

جذر (أ × ب) = جذر أ × جذر ب

جذر (أ / ب) = جذر أ ÷ جذر ب

و:

(جذر أ للدليل ن)^م = ( جذر أ ^م للدليل ن ) = أ ^{م / ن}

(جذر أ للدليل ن)^ن = ( جذر أ ^ن للدليل ن ) = أ ^{ن / ن} = أ

قاعدة جذر الجذر

جذر للدليل ن (جذر أ للدليل م) للعدد أ = جذر للدليل (م × ن) للعدد أ

الجذور لا تتوزع على الجمع أو الطرح

جذر (أ + ب) لأي دليل ن ≠ جذر أ + جذر ب

جذر (أ – ب) لأي دليل ن ≠ جذر أ – جذر ب

قوانين اللوغاريتمات

الدالة اللوغاريتمية هي عكس الدالة الأسية.

فإذا كان لدينا:

س ^ن = ص

فإنه يتم تعريف اللوغاريتم كما يلي:

لو_س ص = ن

وتُقرأ كما يلي: لوغاريتم (ص) للأساس (س) = ن

عند عدم تعيين الأساس، يتم اعتبار القيمة الافتراضية وهي الأساس (10)، أي أن:

لو ص = لو ₁₀ ص

تعريف اللوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم للأساس e ويُرمز له بالرمز لن (بالإنجليزية: Ln)

لن س = لو _e س (بالإنجليزية: Ln X)

لن ( e ^س) = س

قانون ضرب وقسمة اللوغاريتمات

لو_س ( أ × ب ) = لو_س أ + لو_س ب

لو_س ( أ ÷ ب ) = لو_س أ – لو_س ب

لوغاريتم الأسس

لو _س ( ص^ن ) = ن × لو _س ص

ص ^لو_س^ص = س

لو _س ( س^ص ) = س

لو_س س = 1

و:

لو_س ص = لن ص ÷ لن س

قوانين المتباينات (غير المتساويات)

إذا كان أ < ب ، ب < ج ، فإن: أ < ج

إذا كان أ < ب ، ج < د ، فإن: أ + ج < ب + د

وإذا كان أ < ب ، فإن: أ + س < ب + س

إذا كان أ < ب ، س > صفر ، فإن: أ × س < ب × س

إذا كان أ < ب ، س < صفر ، فإن: أ × س > ب × س

قوانين الرياضيات – مبدأ العد

إذا كان عدد طرق إجراء عملية ما يساوي (م) طريقة

وعدد طرق إجراء عملية أخرى يساوي (ن) طريقة

فإن:

عدد طرق إجراء العملية الأولى و العملية الثانية = م × ن
عدد طرق إجراء العملية الأولى أو العملية الثانية = م + ن

ويمكن تعميم هذه القاعدة لعدة طرق.

عند اختيار عدد (ر) من الأشياء من بين عدد (ل) من الأشياء، فإن عدد الطرق الممكنة يكون:

إذا كان الاختيار بدون إحلال

مع مراعاة الترتيب = ^نل_ر
بدون مراعاة الترتيب = ^نق_ر

إذا كان الاختيار مع الإحلال

مع مراعاة الترتيب = ن^ر
بدون مراعاة الترتيب = ^{ن + ر – 1}ق_ر

عدد طرق توزيع (ر) من الأشياء المتماثلة على عدد (ن) من الأماكن = ^{ن + ر – 1}ق_ر

قوانين التباديل والتوافيق

قانون حساب التباديل

عدد التباديل الممكنة (ر) للعناصر (ن) هو = ن × (ن-1) × (ن-2) × ……. × (ن-ر+1)

أي أن:

عدد التباديل (ر) للعناصر (ن) والذي يُرمز له بالرمز ^نل _ر بحيث:

^نل _ر = ن! ÷ (ن-ر)!

قانون حساب التوافيق

لتكن (ن) عدد صحيح موجب، صفر ≤ ن ≤ ر

لو كان لدينا عدد (ن) من العناصر المميزة، فإنه يمكن تأليف توليفة (ر) من هذه العناصر تكون عبارة عن مجموعة فرعية من (ن). ويرمز لها بالرمز ^ن ق _ر

وعدد التوافيق (ر) الممكن تشكيلها من مجموعة من العناصر (ن) = ^نق _ر ، حيث:

^نق _ر = ن! ÷ (ر! × (ن – ر)!)

نظرية ذات الحدين

لأي (س + ص)^ن يكون:

( س + ص )^ن = مجـ _{(من ر = صفر إلى ن)} (^نق_ر) × س^{ن – ر}× ص^ر

قوانين نظرية الاحتمالات

القانون العام لحساب الاحتمالات

في أي تجربة عشوائية، إذا كان لدينا الحدث A، فإنه يكون:

احتمال وقوع الحدث A = عدد احتمالات وقوع الحدث A مقسومًا على العدد الكلي للاحتمالات المتوفر في فضاء العينة للتجربة العشوائية

الحدثان المكمّلان أو المتتامان A, A’

لأي حدثين مكملين A, A’ يكون:

A ∪ A’ = S

P(A) ∪ P(A’) = 1

P(A) = 1 – P(A’)

و:

P(A’) = 1 – P(A)

قاعدة ضرب الاحتمالات

لأي حدثين مستقلين:

احتمال وقوع الحدثين المستقلين معًا = احتمال وقوع الحدث الأول × احتمال وقوع الحدث الثاني

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

ولعدة أحداث مستقلة، يكون:

احتمال وقوع كل الأحداث المستقلة معًا مساويًا لحاصل ضرب احتمال وقوع كل منهم. أي أنه:

P(A ∩ B ∩ C ∩ D … ∩ Z) = P(A) * P(B) * P(C) * P(D) *… * P(Z)

قاعدة حساب الاحتمالات المشروطة

لأي حدثين غير مستقلين، فإنه يكون:

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

قانون حساب احتمالات الأحداث المتنافية

الأحداث المتنافية A, B والتي يكون تقاطعها هو المجموعة الخالية ∅:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

ويكون احتمال تقاطعهما يساوي صفر، أي أن:

P(A ∩ B) = 0

قانون حساب احتمالات الأحداث غير المتنافية

لأي حدثين A, B غير متنافيين، أي أنهما حدثين متصلين، يكون:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

ولأي عدد من الأحداث غير المتنافية، يكون:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩B) – P(A∩B)

قوانين الرياضيات – الإحصاء

قانون حساب المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم س₁ + س₂ + س₃ + س₄ +.. + س _ن:

المتوسط الحسابي = (س₁ + س₂ + س₃ + س₄ +.. + س _ن) ÷ ن

كما أن:

المتوسط الحسابي للبيانات المبوبة في جدول تكراري = مجموع حاصل ضرب (مركز الفئة × تكرار الفئة) ÷ حجم العينة

الوسيط

الوسيط لعدد فردي ن من القيم = القيمة رقم (ن + 1) ÷ 2

والوسيط لعدد زوجي ن من القيم هو القيمتين ذوات الترتيب (ن/2) و (ن/2)+1

المنوال

المنوال في البيانات المبوبة هو القيمة أو مركز الفئة أو الصفة المقابلة لأعلى تكرار في البيانات.

المدى

المدى لمجموعة من القيم = أكبر قيمة – أصغر قيمة

التباين

التباين = مجموع ( س _ن – س )² ÷ ن

الانحراف المعياري

الانحراف المعياري = الجذر التربيعي لـ (مجموع ( س _ن – س )² ÷ ن)

قوانين الرياضيات – المتتاليات الحسابية والهندسية

قانون حساب مجموع المتتالية الحسابية

مجموع المتتالية الحسابية = (عدد حدود المتتالية ÷ 2) × (الحد الأول + الحد الأخير)

مجموع المتتالية الهندسية

ومجموع المتتتالية الهندسية التي حدها الأول (أ) وأساسها (ع) وعدد حدودها (ن) = أ × (ع^ن+1 – 1) ÷ (ع – 1)

قوانين الرياضيات التطبيقية – قوانين الحركة (الديناميكا)

تشتمل قوانين الرياضيات التطبيقية على مجموعة من القوانين المتخصصة في حسابات الحركة والسكون بما فيها قوانين نيوتن للحركة، ومنها:

قانون حساب السرعة

السرعة = المسافة ÷ الزمن

وبالتالي فإن:

وحدة قياس السرعة = وحدة قياس المسافة ÷ وحدة قياس الزمن

وحدة قياس السرعة = متر / ثانية

المسافة = السرعة × الزمن

الزمن = المسافة ÷ السرعة

قانون حساب التسارع أو التعجيل

التسارع أو التعجيل (أو سرعة السرعة) = السرعة ÷ الزمن

وحدة قياس التسارع = (متر / ثانية) ÷ ثانية = متر / ثانية²

السرعة النهائية = ع

السرعة الابتدائية = ع₀

المسافة = ف

الزمن = ن

التسارع أو التعجيل = جـ ، (في حالة عجلة الجاذبية الأرضية = د)

مقترح قراءة موضوع: وحدات القياس الأساسية والمشتقة في النظام الدولي
موسوعة الرياضيات والإحصاء – مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

قوانين نيوتن للحركة

ع = ع ₀ + جـ × ن

ف = ع ₀ × ن + 1/2 × جـ × ن²

ع ² = ع ₀ ² + 2 × جـ × ف