تقدير منحنى الانحدار
يسمح لك إجراء تقدير منحنى الانحدار Curve Estimation بتقدير إحصائيات الانحدار بسرعة وإنتاج مخططات ذات صلة لـ 11 نموذجًا مختلفًا. يعتبر تقدير المنحنى أكثر ملاءمة عندما لا تكون العلاقة بين المتغير (المتغيرات) التابعة والمتغير المستقل خطية linear بالضرورة.
استخدام تقدير منحنى الانحدار لنمذجة قانون تناقص العائدات
يريد بائع التجزئة فحص العلاقة بين الأموال التي يتم إنفاقها على الإعلان والمبيعات الناتجة. ولهذه الغاية، قام بجمع أرقام المبيعات السابقة وتكاليف الإعلان المرتبطة بها.
يتم جمع هذه المعلومات في ملف advert.sav. راجع موضوع “ملفات الأمثلة” للحصول على مزيد من المعلومات. استخدم تقدير المنحنى لمقارنة النماذج الخطية والتربيعية أو linear and quadratic models لهذه العلاقة.
تشغيل التحليل
1. لتشغيل إجراء تقدير منحنى الانحدار، اختر من القوائم: تحليل> الانحدار> تقدير المنحنى …
Analyze > Regression > Curve Estimation…
يظهر مربع حوار إجراء تقدير منحنى الانحدار الرئيسي كما يلي:
2. حدد المبيعات غير الموجهة Detrended sales كمتغير تابع dependent variable.
3. حدد الإنفاق الإعلاني Advertising spending كمتغير مستقل independent variable.
4. حدد التربيعي Quadratic، بالإضافة إلى الخطي Linear، كنماذج لتقديرها models to estimate.
5. انقر فوق حفظ أو Save.
يظهر مربع حوار الحفظ كما يلي:
6. حدد القيم المتوقعة Predicted values والقيم المتبقية Residuals في مجموعة حفظ المتغيرات Save Variables.
7. انقر فوق متابعة Continue.
8. انقر فوق “موافق” أو OK في مربع حوار تقدير المنحنى.
تظهر نافذة التنبيه كما يلي:
8. ينبهك الإجراء إلى عدد المتغيرات التي سيتم إنشاؤها. (نموذجان ضرب متغيرين) يتم حفظهما لكل نموذج ينتج عنهما أربعة متغيرات محفوظة.
9. انقر فوق موافق أو OK.
ملخص النموذج وتقديرات المعلمات
الشكل التالي يبين ملخص النموذج وتقديرات المعلمات أو Model summary and parameter estimates:
عندما لا تطلب جدول ANOVA في مربع الحوار الرئيسي لتقدير المنحنى Curve Estimation، يتم عرض ملخصات لكل نموذج في جدول واحد.
يوضح النموذج الخطي Linear model أن المبيعات المتوقعة تساوي 6.584 + 1.071 * (الإنفاق الإعلاني). تشير قيمة b1 الأكبر من 1 إلى أنه يجب عليك إنفاق أكبر قدر ممكن على الإعلان، لأنك ستستعيد هذا الاستثمار والمزيد في المبيعات. من الناحية العملية، هذا ليس منطقيًا لأنك تعلم أن السوق لديه نقطة تشبع للإعلان.
ينص النموذج التربيعي على أن المبيعات المتوقعة تساوي 3.903 + 2.854 * (الإنفاق إعلاني) – 0.245 * (مربع الإنفاق الإعلاني). تعني القيمة السالبة لـ b2 أن هذا النموذج يشير إلى أنه بعد نقطة معينة، سيؤدي الإعلان المتزايد إلى تقليل المبيعات فعليًا. بتعبير أدق، ستؤدي زيادة الإعلان إلى ما بعد: 2.854 / (2 * 0.245) = 5.824 إلى انخفاض المبيعات المتوقعة.
إن أعمدة F و df1 و df2 و Sig. تلخص نتائج اختبار F لملاءمة النموذج. قيمة دلالة إحصاء F أقل من 0.05 لكلا النموذجين، مما يعني أن التباين الموضح بواسطة كل نموذج لا يرجع إلى الصدفة. تعد إحصائية R Square مقياسًا أفضل لقوة العلاقة.
إحصاء R Square هو مقياس لقوة الارتباط بين القيم المرصودة والمتوقعة من النموذج للمتغير التابع. تشير قيم R Square الكبيرة إلى علاقات قوية لكلا النموذجين. R Square للنموذج التربيعي أكبر، على الرغم من أنه ليس من الواضح ما إذا كان هذا بسبب النموذج التربيعي الذي يستفيد من الصدفة بمعامل إضافي.
ملائمة منحنى الانحدار
الشكل التالي يبين مخطط ملاءمة المنحنى للنماذج الخطية والتربيعية:
يمنحك مخطط ملاءمة المنحنى تقييمًا مرئيًا سريعًا لملاءمة كل نموذج للقيم التي تم إلغاؤها. من هذا المخطط، يبدو أن النموذج التربيعي يتبع شكل البيانات بشكل أفضل. على وجه الخصوص، يبدو أن النموذج الخطي يبالغ في تقدير المبيعات للحالات ذات القيم الصغيرة أو الكبيرة للإنفاق الإعلاني ويقلل من تقدير المبيعات للحالات ذات القيم المتوسطة للإنفاق الإعلاني. كتحقق مرئي إضافي، يجب أن تنظر إلى مخطط القيم المتبقية مقابل القيم المتوقعة لكل نموذج.
مخطط القيم المتبقية مقابل القيم الملائمة
لإنشاء مخطط انتشار للقيم المتبقية بحسب القيم الملائمة للنموذج الخطي:
1. اختر من القوائم: الرسوم البيانية> منشئ المخطط …
Graphs > Chart Builder…
يظهر منشئ المخطط كما يلي:
2. حدد معرض مبعثر/نقطة Scatter/Dot واختر مبعثر بسيط أو Simple Scatter.
3. حدد Error for sales with advert from CURVEFIT و MOD_1 LINEAR كمتغير y و Fit for sales with advert from CURVEFIT و MOD_1 LINEAR كمتغير x.
4. انقر فوق موافق OK.
يظهر الشكل التالي وهو مخطط مبعثر للقيم المتبقية بحسب القيم الملائمة للنموذج الخطي:
هذا المخطط يعزز الشكوكك من مخطط ملاءمة المنحنى. يوجد شكل “U مقلوب” واضح للنقاط، مما يعني أن هناك نمطًا في البيانات لم يتم التقاطه بواسطة النموذج الخطي.
5. لإنشاء مخطط انتشار للقيم المتبقية بحسب القيم الملائمة للنموذج التربيعي، استدع منشئ المخطط.
يظهر منشئ الرسم البياني أو Chart Builder كما يلي:
6. انقر فوق إعادة تعيين Reset لاستعادة الإعدادات الافتراضية.
7. حدد معرض Scatter / Dot واختر Simple Scatter.
8. حدد Error for sales with advert from CURVEFIT وMOD_1 QUADRATIC كمتغير y وFit for sales with advert from CURVEFIT و MOD_1 QUADRATIC كمتغير x.
9. انقر فوق موافق OK.
يظهر الشكل التالي وهو مخطط مبعثر للقيم المتبقية بحسب القيم الملائمة للنموذج التربيعي:
لا تُظهر هذه القيم المتبقية نمطًا، وبالتالي فإن النموذج التربيعي مقبول بمعنى أن القيم المتبقية مستقلة عن قيم الملائمة.
خلاصة استخدام تقدير منحنى الانحدار لنمذجة قانون تناقص العائدات
باستخدام إجراء تقدير المنحنى، قمت بمقارنة النماذج الخطية والتربيعية للعلاقة بين المبيعات والإعلان. لقد وجدت أن النموذج الخطي غير ملائم لأن معاملاته ليست منطقية عمليًا، والقيم المتبقية ليست مستقلة عن القيم الملائمة. لم يشتمل النموذج التربيعي على هذه المشكلات، لذا ننصح بائع التجزئة باستخدام النموذج التربيعي.
ومع ذلك، يشعر بائع التجزئة بالقلق من أن النموذج التربيعي قد لا يكون مناسبًا لأنه يشير إلى أن زيادة الإعلانات ستؤدي في النهاية إلى انخفاض المبيعات. من أجل استكشاف نموذج بديل، يمكنك استخدام إجراء الانحدار غير الخطي Nonlinear Regression.
استخدام تقدير منحنى الانحدار لنمذجة النمو الفيروسي
يقوم مزود خدمة الإنترنت (ISP) بتحديد تأثيرات الفيروس على شبكاتهم. كجزء من هذا الجهد، قاموا بتتبع النسبة المئوية (التقريبية) لحركة البريد الإلكتروني على شبكاتهم بمرور الوقت، من لحظة الاكتشاف حتى احتواء التهديد.
يتم جمع هذه المعلومات في ملف virus.sav. راجع موضوع “ملفات الأمثلة” للحصول على مزيد من المعلومات. استخدم تقدير المنحنى لنمذجة نمو الفيروس وتراجعه.
تشغيل التحليل
1. لتشغيل إجراء تقدير منحنى الانحدار، اختر من القوائم: تحليل> الانحدار> تقدير المنحنى …
Analyze > Regression > Curve Estimation…
يظهر مربع حوار إجراء تقدير منحنى الانحدار الرئيسي كما يلي:
2. حدد نسبة الرسائل المصابة Proportion of infected messages كمتغير تابع dependent variable.
3. حدد الساعات منذ الاكتشاف Hours since detection كمتغير مستقل independent variable.
4. قم بإلغاء تحديد “خطي” Linear وحدد “تكعيبي” Cubic في مجموعة النماذج Models.
5. حدد عرض جدول أنوفا Display ANOVA Table.
6. انقر فوق حفظ Save.
يظهر مربع حوار الحفظ كما يلي:
7. حدد القيم المتوقعة Predicted values والقيم المتبقية Residuals في مجموعة حفظ المتغيرات Save Variables.
8. انقر فوق متابعة Continue.
9. انقر فوق “موافق” OK في مربع حوار تقدير المنحنى Curve Estimation.
تظهر نافذة التنبيه كما يلي:
10. ينبهك الإجراء إلى عدد المتغيرات التي سيتم إنشاؤها. (نموذج واحد ضرب متغيرين) ليتم حفظهما لكل نموذج، ينتج عنه متغيرين محفوظين.
11. انقر فوق موافق OK.
جدول ANOVA
الشكل التالي يبين جدول ANOVA:
يختبر جدول ANOVA مقبولية النموذج من منظور إحصائي. يعرض صف الانحدار Regression معلومات حول التباين الذي يمثله نموذجك. يعرض صف القيم المتبقية Residual معلومات حول التباين الذي لم يتم حسابه بواسطة نموذجك.
الانحدار لمجموع المربعات regression sum of squares أكبر بكثير من مجموع مربعات القيم المتبقية residual sum of squares، مما يشير إلى أن معظم التباين في نسبة رسائل البريد الإلكتروني المصابة يتم تفسيره بواسطة النموذج. قيمة أهمية إحصاء F أقل من 0.05، مما يعني أن التباين الذي يفسره النموذج لا يرجع إلى الصدفة.
في حين أن جدول ANOVA هو اختبار مفيد لقدرة النموذج على شرح أي تباين في المتغير التابع، إلا أنه لا يعالج بشكل مباشر قوة تلك العلاقة.
ملخص النموذج
الشكل التالي يبين جدول ملخص النموذج Model Summary:
يوضح جدول ملخص النموذج قوة العلاقة بين النموذج والمتغير التابع. R، معامل الارتباط المتعدد the multiple correlation coefficient، هو الارتباط الخطي بين القيم المرصودة والمتوقعة من النموذج للمتغير التابع. تشير قيمته الكبيرة إلى علاقة قوية.
R Square، معامل التحديد coefficient of determination، هو القيمة التربيعية لمعامل الارتباط المتعدد R. يظهر أن 78.3٪ من التباين في نفس الوقت يفسره النموذج.
مربع R المعدل Adjusted R Square هو إحصاء R Square “المعدل” الذي يعاقب النماذج التي تحتوي على أعداد كبيرة من المعلمات.
هذه الإحصائيات، إلى جانب الخطأ القياسي للتقدير standard error of the estimate، مفيدة للغاية كمقاييس مقارنة للاختيار بين نموذجين أو أكثر.
تقديرات المعلمات
الشكل التالي يبين جدول تقديرات المعلمات Parameter estimates:
يبين النموذج المكعب Cubic model على أن النسبة المتوقعة من رسائل البريد الإلكتروني المصابة تساوي -0.123 + 0.088 * (عدد الساعات منذ الاكتشاف) – 0.004 * مربع (عدد الساعات منذ الاكتشاف) + 0.00004399 * مكعب (عدد الساعات منذ الاكتشاف). تشير القيمة الموجبة للمصطلح الخطي إلى أن المتغير التابع يزيد في البداية بمرور الوقت. كما تشير القيمة السالبة للمصطلح التربيعي إلى أنه بعد نقطة معينة، يتناقص عدد رسائل البريد الإلكتروني المصابة. وتشير القيمة الموجبة للمصطلح التكعيبي في الواقع إلى أن العدد يرتفع مرة أخرى!
ملاءمة المنحنى
الشكل التالي يبين ملاءمة المنحنى للنماذج الخطية والتربيعية
يوضح الرسم البياني لملائمة المنحنى أن النموذج التكعيبي يتبع نقاط البيانات المرصودة جيدًا خلال الفترة الزمنية المرصودة. ومع ذلك، بسبب المصطلح التكعيبي الموجب في النموذج، يتحول المنحنى لأعلى في نهاية الفترة الزمنية المرصودة، لذلك فمن غير المرجح أن يتناسب هذا النموذج جيدًا مع ما بعد عدد الساعات الـ 42. لإجراء فحص بصري آخر، يجب أن تنظر إلى مخطط القيم المتبقية مقابل القيم المتوقعة للنموذج.
مخطط القيم المتبقية مقابل القيم الملائمة
لإنتاج مخطط انتشار للقيم المتبقية بحسب القيم الملائمة للنموذج المكعب:
1. اختر من القوائم: الرسوم البيانية> منشئ المخطط …
Graphs > Chart Builder…
يظهر منشئ المخطط أو Chart Builder كما يلي:
2. حدد معرض مبعثر/نقطة Scatter/Dot واختر مبعثر بسيط Simple Scatter.
3. حدد Error for infected with time from CURVEFIT و MOD_1 CUBIC كمتغير y وحدد Fit for for infected with time from CURVEFIT وMOD_1 CUBIC كمتغير x.
4. انقر فوق موافق OK.
الشكل التالي مخطط انتشار القيم المتبقية بحسب القيم الملائمة للنموذج الخطي:
هذا المخطط يعزز الشكوكك من مخطط ملاءمة المنحنى. هناك شكل واضح للنقاط، مما يعني أن هناك نمطًا في البيانات لم يتم التقاطه بواسطة النموذج المكعب Cubic model.
ملخص استخدام تقدير منحنى الانحدار لنمذجة النمو الفيروسي
باستخدام إجراء تقدير المنحنى، لقد قمت بإنشاء نموذج يحتوي على إحصائيات ملائمة ممتازة، ولكن به قيم متبقية ضعيفة. علاوة على ذلك، يكاد يكون من المؤكد أن النموذج غير مناسب للأوقات السابقة للفترة المرصودة، ويصعب تفسيره خلال الفترة الزمنية المرصودة – ماذا يعني بالضبط أن يكون معامل المصطلح التكعيبي 0.00004399؟
قد تتمكن من حل هذه المشكلات باستخدام نموذج أكثر تعقيدًا. يسمح لك إجراء الانحدار غير الخطي بتحديد مثل هذه النماذج.
الإجراءات ذات الصلة
يسمح لك إجراء تقدير المنحنى بإنشاء نماذج للعلاقات غير الخطية بين متغير تابع ومستقل ومقارنتها بسرعة.
- يوفر إجراء الانحدار الخطي مزيدًا من الإحصائيات للنماذج الخطية في جوهرها.
- يسمح لك إجراء الانحدار غير الخطي بتحديد مجموعة أكبر بكثير من النماذج، على حساب الحاجة إلى مزيد من الوقت والجهد لتحديد نموذج معين.
المصدر
- التحليل الإحصائي باستخدام برنامج SPSS، ترجمة وإعداد: د. م. مصطفى عبيد، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات
- الموقع الرسمي لشركة IBM ® برنامج SPSS