القيمة الحالية والخصم المركب لمبلغ

الملخص

شرح وتبسيط مفهوم القيمة الحالية والخصم المركب لمبلغ، الخصم المركب التجاري والخصم المركب الصحيح. شرح مفهوم القيمة الزمنية للنقود، العلاقة بين معدل الخصم المركب ومعدل الفائدة، شرح طريقة إيجاد القيمة الحالية بمعدل خصم مركب، مع التوضيح بالأمثلة التطبيقية المتنوعة وخطوات حلها بالتفصيل.

مفهوم القيمة الحالية والخصم المركب

في المعاملات المالية، أي مبلغ لا يساوي قيمته إلا في تاريخ استحقاقه، فإذا تأخر استحقاق المبلغ، أي قام المدين بدفعه بعد تاريخ الاستحقاق، فإن ذلك يؤدي إلى زيادته بمقدار الفائدة سواء كانت فائدة بسيطة أو فائدة مركبة.

وبالعكس، إذا قُدم ميعاد استحقاق الدين أو المبلغ، أي قام المدين بسداده قبل موعد استحقاقه، فإن ذلك يؤدي إلى تخفيض قيمته بمقدار يُسمى الخصم.

تسُمى القيمة المستحقة في نهاية المدة باسم القيمة الاسمية. ويُلاحظ أن القيمة الاسمية تُطابق تمامًا الجملة. في حين يُطلق على القيمة المُستحقة الآن قبل تاريخ الاستحقاق اسم القيمة الحالية. ويطلق على الفرق بين القيمتين الاسمية والحالية اسم الخصم المُستحق عن الفترة من تاريخ الخصم حتى تاريخ الاستحقاق.

وخصم الدين أو قطعه يعني سداد قيمته قبل حلول موعد استحقاقه. ويُسمى الخصم بفائدة مركبة بالخصم المركب. والخصم المركب نوعان هما:

1. الخصم المركب التجاري
2. والخصم المركب الصحيح

الخصم المركب التجاري

يُعرف الخصم المركب التجاري على أنه الفائدة المركبة للقيمة الاسمية للمدة المحصورة بين تاريخ السداد وتاريخ الاستحقاق.

أي أن:

الخصم المركب التجاري = القيمة الاسمية × (ج ^ن % – 1)

أو باستخدام الرموز الرياضية:

خ _ت = ق. س × (ج ^ن % – 1)

حيث أن:

خ _ت = الخصم التجاري المركب

ق. س = القيمة الاسمية

ج ^ن % = (1 + ع) ^ن

القيمة الحالية التجارية = القيمة الاسمية – الخصم المركب التجاري

أو:

ق . ح . ت = ق. س – ق. س × (ج ^ن % – 1)

أو:

ق . ح . ت = ق. س × (2 – ج ^ن %)

ومن الواضح أنه إذا كانت ج ^ن ٪ أكبر من 2 فتكون القيمة الحالية التجارية سالبة، وهذا يعني أن الخصم أكبر من القيمة الاسمية، لذلك لا يُستخدم هذا النوع من الخصم في الحياة العملية.

الخصم المركب الصحيح

يُعرف الخصم المركب الصحيح بأنه الفائدة المركبة للقيمة الحالية الصحيحة للمدة المحصورة بين تاريخ سداد الدين وتاريخ استحقاقه.

أي أن:

الخصم المركب الصحيح = القيمة الحالية الصحيحة × (ج ^ن % – 1)

أو باستخدام الرموز الرياضية:

خ _ص = ق. ح. ص × (ج ^ن % – 1)

القيمة الاسمية = القيمة الحالية الصحيحة + الخصم المركب الصحيح

أو:

ق. س = ق. ح. ص + خ _ص

ق. س = ق. ح. ص + ق. ح. ص × (ج ^ن % – 1)

أو:

ق. س = ق. ح. ص × ( 1 + ج ^ن % – 1)

أي أن:

ق. س = ق. ح. ص × ج ^ن %

وحيث أننا لن نستخدم الخصم المركب التجاري ومن ثم القيمة الحالية التجارية، فإننا سنكتفي بذكر الخصم المركب ويكون مقصودًا به الخصم المركب الصحيح وسنكتفي بذكر القيمة الحالية ويكون المقصود بها القيمة الحالية الصحيحة.

وقد رأينا سابقًا أن القانون الأساسي لحساب الجملة بفائدة مركبة هو:

جـ _ن = أ × ج ^ن ٪

فإذا اعتبرنا أن:

جـ _ن = ق. س

أ = ق. ح

وفي هذه الحالة فإن القيمة الحالية لمبلغ يُستحق بعد ن فترة زمنية ويُستثمر بمعدل فائدة مركبة ع٪ يتم حسابها من معادلة الجملة كما يلي:

أ = جـ _ن ÷ ج ^ن %

أو:

أ = جـ _ن ÷ (1+ ع%) ^ن

ملاحظة

1 ÷ (1 + ع) ^ن يمثل القيمة الحالية للجنيه (أو وحدة العملة) الذي يُستحق بعد (ن) سنة من الآن بمعدل ع٪.

وإذا عوضنا عن هذا المقدار بالعلاقة التالية:

ح ^ن = 1 ÷ (1 + ع) ^ن = (1 + ع) ^-ن

في هذه الحالة يمكن حساب القيمة الحالية الصحيحة من المعادلة الآتية:

ق. ح = ق. س × ح ^ن ٪

أو:

ق. ح = ق. س × (1 + ع) ^-ن

ونحصل على قيمة ح ^ن ٪ المختلفة من العمود الثالث في جداول الفائدة المركبة للمعدلات من 1% إلى 16٪ وللمدد المختلفة من 1 إلى 50 وفي حالة المعدلات والمُدد غير الواردة بالجدول يمكن استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيمة الحالية وبالتالي الخصم المركب.

مثال على قانون حساب القيمة الحالية

شركة تجارية مدينة بمبلغ 400000 جنيه لأحد الأشخاص تستحق السداد في نهاية 10 سنوات. ولدواعي التصفية اضطرت الشركة لسداد جميع ديونها الآن. احسب المبلغ الذي يجب سداده اليوم إذا كان معدل الفائدة المركبة السائد في السوق هو 12% سنويًا.

تمهيد للحل:

يلاحظ أن مبلغ 400000 جنيه تستحق في نهاية 10 سنوات، أي تاريخ السداد بعد 10 سنوات، ولذا فإن هذا المبلغ يعتبر قيمة اسمية.

ق. س = 400000 جنيه

ن = 10 سنوات

ع = 12%

ق. ح = ؟؟؟

الحل:

بما أنه لدينا:

ق. ح = ق. س × ح ^ن ٪

بالتعويض عن القيم والمعطاة في المثال ينتج لنا:

ق. ح = 400000 × ح ¹⁰

ثم بالكشف في الجداول المالية العمود الثالث تحت المعدل 12% أمام 10 سنوات، وبالتعويض نجد أن:

ق. ح = 400000 × 0.3219732 = 128789.28

الخصم المركب

قانون حساب الخصم المركب (الصحيح):

الخصم المركب = القيمة الاسمية – القيمة الحالية

أو باستخدام الرموز الرياضية:

خ = ق. س – ق. ح

حيث أن:

ق. ح = ق. س × ح ^ن

خ = ق. س – ق. س × ح ^ن

أو:

خ = ق. س (1 – ح ^ن)

أما الخصم المطلوب هو الخصم عندما تكون القيمة الاسمية وحدة النقود التي تستحق بعد فترة زمنية واحدة، أي أن: ن = 1، والخصم في هذه الحالة يُطلق عليه معدل الخصم والذي يرمز له بالرمز ص.

القيمة الزمنية للنقود

الشكل التالي يوضح فكرة القيمة الزمنية للنقود، حيث يتم تغير قيمتها بحسب تغير المدة الزمنية، بحيث تظهر بوضوح أكثر العلاقة بين معدل الفائدة والخصم والجملة لوحدة النقود:

العلاقة بين معدل الخصم المركب ومعدل الفائدة

حيث أن:

ص = 1 – ح

أو بالتعويض عن ح:

ص = 1 – (1 ÷ (1 + ع))

أو بالتبسيط:

ص = ((1 + ع) – 1) ÷ (1 + ع)

أي أن:

ص = ع ÷ (1 + ع)

أو:

معدل الخصم = معدل الفائدة ÷ (1 + معدل الفائدة)

كما يمكن استنتاج أن:

ص = ع × (1 – ص)

ومن ثم يكون:

ع = ص ÷ (1 – ص)

أو:

معدل الفائدة = الخصم ÷ (1 – معدل الخصم)

مثال على العلاقة بين معدل الخصم ومعدل الفائدة

أوجد معدل الخصم المركب المقابل لمعدل فائدة مركبة 12% سنويًا.

الحل:

معدل الفائدة المركبة ع = 12%

معدل الخصم المركب ص = ؟؟

بما أنه لدينا:

ص = ع ÷ (1 + ع)

ثم بالتعويض عن القيم:

ص = 0.12 ÷ (1 + 0.12) = 10.714 % سنويًا.

إيجاد القيمة الحالية بمعدل خصم مركب

ص = 1 – ح

ح = 1 – ص

ح ^ن = (1 – ص) ^ن

والآن بما أنه لدينا:

ق. ح = ق. س × ح ^ن

بالتعويض عن ح ^ن، فيكون:

ق. ح = ق. س × (1 – ص) ^ن

أو:

القيمة الحالية = القيمة الاسمية × (1 – معدل الخصم المركب) ^ن

مثال على إيجاد القيمة الحالية بمعدل خصم مركب

شركة كانت مدينة بمبلغ 100000 جنيه يستحق السداد في نهاية 8 سنوات بمعدل خصم مركب 13% سنويًا وأرادت الشركة سداد المبالغ المستحقة عليها الآن. احسب المبلغ الذي تلتزم الشركة بسداده.

المعطيات:

ق. س = 100000 جنيه

ن = 8 سنوات

ص = 13%

ق. ح = ؟؟؟؟

الحل الأول:

بما أنه:

ق. ح = ق. س × (1 – ص) ^ن

بالتعويض عن القيم المعطاة:

ق. ح = 100000 × (1 – 0.13) ⁸

ق. ح = 100000 × (0.87) ⁸

ثم بالضرب المباشر أو باستخدام الآلة الحاسبة التي بها الأسس ينتج أن:

ق. ح = 100000 × 0.3282117 = 32821.167 جنيه

الحل الثاني:

بما أنه لدينا:

ع = ص ÷ (1 – ص)

ع = 0.13 ÷ (1 – 0.13) = 14.943% = 15% تقريبًا.

ق. ح = ق. س × ح ^ن (بمعدل فائدة مركبة 15%)

ق. ح = 100000 × ح ⁸ = 100000 × 0.3269018 = 32690.18 جنيه

يلاحظ أن هناك فرق بين نتيجة الحل الأول والثاني وذلك بسبب التقريب.

المراجع

• كتاب الرياضة المالية أو الرياضيات المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
• كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
• موسوعة العلوم المالية والمصرفية، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2023.