الفيزياء للثانوية العامة - القسم العلمي، الوحدة الأولى، الميكانيكا

الفريد في الفيزياء للثانوية العامة – القسم العلمي، الوحدة الأولى، الميكانيكا

سلسلة شرح وتوضيح وتبسيط المناهج الدراسية – فلسطين

إعداد: د. مصطفى عبيد

الطبعة الأولى – فلسطين
العام الدراسي: 2024/2025

الفصل الأول
الزخم (كمية التحرك) الخطي والدفع
Linear Momentum and Impulse

الزخم الخطي Linear Momentum

عندما يتحرك جسم ما فإنه يؤثر بقوة في أي جسم آخر يحاول إيقافه أو إعاقة حركته. وكلما كانت كتلة الجسم المتحرك (m) أو سرعته (v) كبيرة كانت الصعوبة في محاولة إيقافه أو إعاقته أكبر. ويًعبر عن ذلك بمفهوم الزخم Momentumويُرمز له بالرمز (P).
تعريف
الزخم: هو كمية فيزيائية متجهة تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم في سرعته، وتكون باتجاه السرعة.
الزخم = كتلة الجسم × سرعته
P = m v
وحدة قياس الزخم:
يمكن اشتقاق وحدة قياس الزخم من القانون كما يلي:
بما أن: الزخم = الكتلة × السرعة
إذن: وحدة قياس الزخم = وحدة قياس الكتلة × وحدة قياس السرعة
أي أن: وحدة قياس الزخم = كيلوجرام × متر / الثانية أو بالرموز Kg . m / s.
العلاقة بين الزخم وطاقة الحركة:
من قانون حساب طاقة الحركة K:
K = 1/2 m v 2
بالتعويض عنP = m v لاشتقاق طاقة الحركة بدلالة الزخم والسرعة ينتج أن:
K = 1/2 P v
P = 2 K / v
أو بالتعويض عن P2 = m2 v2 لاشتقاق طاقة الحركة بدلالة الزخم والكتلة ينتج أن:
K = 1/2 (m2 v2) / m = 1/2 (P2 / m)
P = √2 m K
مثال (1): احسب الزخم لكل مما يأتي:
سيارة كتلتها 1000 Kg تسير بسرعة 20 m/s باتجاه الشرق.
كرة كتلتها 2 kg تتحرك نحو الجنوب بطاقة حركية 16 J.
الحل:
زخم السيارة = الكتلة × السرعة
P = m v
P = 1000 kg × 20 m / s
P = 2 × 104 kg . m / s باتجاه الشرق
بالنسبة للكرة: من قانون حساب طاقة الحركة يمكن اشتقاق طاقة الحركة بدلالة الزخم والكتلة كما يلي:
K = 1/2 m v 2
وبالتعويض عن P2 = m2 v2 ينتج أن:
K = 1/2 (m2 v2) / m
K = 1/2 (P2 / m)
P = √2 m K
P √2.2.16
P = 8 Kg. m / s جنوبًا
سؤال: مركبتان متساويتان في الكتلة، وسرعة أحداهما ضعفا سرعة الأخرى، أيهما تحتاج قوة أقل لإيقافها في نفس الفترة الزمنية ولماذا؟
الحل: بما أن الزخم يتناسب طرديًا مع السرعة (P = m v) فإن السيارة الأبطأ تكون بحاجة إلى قوة أقل لإيقافها في نفس الفترة الزمنية لأن الزخم الخاص بها يكون أقل من زخم السيارة الأسرع.

الدفع Impulse

يمكن توضيح مفهوم الدفع عندما يتم دفع سيارة لا يعمل محركها من أجل زيادة سرعتها إلى حد يكفي لتشغيل محركها.
تعريف
الدفع: هو كمية فيزيائية متجهة تساوي حاصل ضرب متوسط القوة في زمن تأثيرها، واتجاهه باتجاه القوة، ويُرمز له بالرمز I.
فإذا تم دفع جسم ما بقوة مقدارها F لفترة زمنية مقدارهاΔt فإن قيمة الدفع لهذا الجسم يمكن حسابها بالمعادلة التالية:
الدفع = متوسط القوة المؤثرة × زمن تأثيرها
I=F ∆ t
وحدة قياس الدفع
من معادلة حساب الدفع يمكن استنتاج أن:
بما أن الدفع = القوة المؤثرة × زمن تأثيرها
وحدة قياس الدفع = وحدة قياس القوة × وحدة قياس الزمن
وحدة قياس الدفع = نيوتن × ثانية
ولكن وحدة النيوتن = كجم × متر / ثانية 2
إذن: وحدة قياس الدفع = كجم × متر / ثانية 2 × ثانية = كجم × متر / ثانية
وهي نفس وحدة قياس الزخم الذي يساوي (الكتلة × السرعة) = (كجم × متر / ثانية).
دفع مجموعة من القوى
إذا أثرت مجموعة من القوى الثابتة على جسم، فإن الدفع الكلي على الجسم يساوي حاصل ضرب محصلة القوى المؤثرة على الجسم في فترة زمن تأثيرها، وتُعطى من العلاقة التالية:
I=∑▒F ∆t
أي أنه يمكن التعبير عن الدفع بأنه يساوي مساحة المستطيل في الشكل التالي:

أما إذا أثرت قوة متغيرة على جسم خلال فترة زمنية، فإن الدفع الكلي على الجسم يمكن التعبير عنه بأنه المساحة المحصورة تحت منحنى (القوة – الزمن) في الشكل التالي:

متوسط قوة الدفع: هي القوة الثابتة التي إذا أثرت في الجسم لنفس الفترة الزمنية التي تؤثر فيه القوة المتغيرة لأكسبته نفس الكمية من الدفع. والشكل التالي يوضح ذلك:

مثال (2): في الشكل المقابل:
دفع القوة F1 = 10 × 6 = 60 N.m
دفع القوة F2 = 30 × 2 = 60 N.m
يتضح أن الدفع متساوي في الحالتين (قوة أكبر وزمن أقل = قوة أقل وزمن أكبر)

نظرية الدفع – الزخم Momentum - Impulse Theorem

نفرض أن قوة محصلة (F) أثرت في جسم كتلته (m) في زمن مقداره (t∆)، فغيرت سرعته بمقدار (v∆)، فإن التغير في زخم الجسم يساوي (∆P). حيث أن:
∆P = ∆ (m v) = m (∆ v) (بفرض أن الكتلة ثابتة)
وبقسمة طرفي المعادلة على الزمن، ينتج أن:
(∆P )/(∆t )=(m ∆v )/(∆t )
وبما أن: a= (∆v )/(∆t )
حيث أن a هو متوسط التسارع الذي يكتسبه الجسم الواقع تحت تأثير القوة.
بالتعويض عن a، ينتج أن:
(∆P )/(∆t )=m a
وحيث أن القوة تساوي: F = m a
بالتعويض عنها، يكون:
(∆P )/(∆t )=F
وهي الصيغة العامة لقانون نيوتن الثاني، ويمكن من خلالها تعريف القوة المحصلة بأنها: المعدل الزمني للتغير في الزخم.
وبالضرب التبادلي ينتج أن:
∆P=F ∆t
وتُعرف العلاقة الأخيرة بأنها نظرية الدفع – الزخم والتي تُشير إلى أنه:
نظرية الدفع – الزخم: “الدفع الذي تُحدثه القوة المحصلة المؤثرة على جسم في فترة زمنية معينة يساوي التغير في زخم الجسم خلال تلك الفترة”.

مثال (3)
سيارة كتلتها 1200 Kg تسير بسرعة 20 m/s باتجاه محور السينات الموجب، فغذا ضغط السائق على كوابح السيارة فانخفضت سرعتها إلى 8 m/s في نفس الاتجاه في زمن مقداره 6 s، احسب متوسط القوة التي أثرت على السيارة خلال هذه الفترة.
الحل
∆P=F ∆t
F ∆t= ∆P=Pf-Pi
F ∆t=mvf-mvi
F × 6 = 1200 × (8 – 20) = – 14400
F = – 2400 N (Newton)
لاحظ أن الإشارة السالبة تُشير إلى أن اتجاه القوة عكس اتجاه الحركة (لأنها قوة إيقاف بالكوابح)، أي أنها في اتجاه المحور السيني السالب.

حفظ الزخم Conservation of Momentum

توصلنا إلى أن الدفع الذي يتلقاه الجسم بفعل قوة تؤثر عليه خلال فترة معينة يساوي التغير في زخم الجسم خلال نفس الفترة.
فإذا كانت محصلة القوى الخارجية المؤثرة على مجموعة من الأجسام تساوي صفرًا سُميت مجموعة الأجسام بالنظام المعزول.
والقوى الوحيدة التي تؤثر في النظام المعزول هي القوى المتبادلة بين الأجسام أو الجسيمات داخل هذا النظام.
أي أنه في النظام المعزول ميكانيكيًا يكون:
F ∆t= ∆P=Pf-Pi = 0
حيث أن Pfinal و Pinitialترمزان لزخم النظام الابتدائي (قبل) والنهائي (بعد) التغير. كما أن:
مقدار ثابت = P final = P initial
وعند ثبوت أي كمية فيزيائية خلال أي عملية فإنه يُقال أن هذه الكمية محفوظة.
قانون حفظ الزخم
إذا كانت محصلة القوى الخارجية المؤثرة على مجموعة من الأجسام بينها تأثير متبادل في نظام مغلق (مجموعة الأجسام التي تبقى كتبتها ثابتة خلال أية عملية تبادل للقوى) تساوي صفرًا، فإن مجموع زخم هذه الأجسام يبقى ثابتًا أو محفوظًا.
∑▒〖Pi= 〗 ∑▒〖Pf 〗

في الشكل التالي:

عند اصطدام كرة واحدة من الطرف الأيمن بمجموعة من الكرات الساكنة يؤدي ذلك إلى اندفاع كرة واحدة من الطرف الأيسر وارتفاعها تقريبًا يساوي ارتفاع الكرة الأولى. أما عند اصطدام كرتين من الطرف الأيمن فإن ذلك يؤدي إلى اندفاع كرتين من الطرف الأيسر بنفس الطريقة تقريبًا. وهذا يعني أن الزخم للمجموعة قبل التصادم يساوي الزخم بعد التصادم.
مثال (4)
يجلس ولد كتلته (35 kg) في قارب ساكن كتلته (65 kg) ويحمل صندوقًا كتلته (6 kg). فإذا قذف الولد الصندوق أفقيًا بسرعة مقدارها (10 m/s)، ومع إهمال مقاومة الماء، جد سرعة القارب بعد قذف الصندوق مباشرة.
الحل
نفرض أن:
كتلة الولد m1
كتلة القارب m2
سرعة القارب الابتدائية = vi = صفر (حالة السكون)
سرعة الصندوق النهائية = v1f
سرعة القارب النهائية = v2f
حيث أن:
∑▒〖Pi= 〗 ∑▒〖Pf 〗
بالتعويض عن قيمة الزخم للطرفين، الابتدائية والنهائية، أي أن:
(m1 + m2) . vi = m1 v1f + m2 v2f
0 = 6 × 10 + 100 (v2f(
v2f = – 0.60 m/s
والإشارة السالبة تعني أن القارب سوف يندفع بالاتجاه المعاكس لاتجاه قذف الكرة.
الفصل الثاني
التصادمات Collisions

التصادم Collision

تعريف
“التصادم هو تأثير متبادل بين جسمين أو أكثر أحدهما على الأقل متحرك. وتؤثر خلاله الأجسام المتصادمة بعضها في بعض بقوة خلال فترة زمنية قصيرة نسبيًا”.
أنواع التصادمات
هناك أنواع مختلفة للتصادمات، حيث تتأثر التصادمات بعدة عوامل، منها ما إذا كان النظام الذي حدث فيه التصادم معزول ميكانيكيًا ومدى إمكانية تطبيق قانون حفظ الزخم والتغير في طاقة الحركة للأجسام المتصادمة، وكذلك طبيعة القوى المؤثرة أثناء التصادم.
مثال توضيحي:
في الشكل التالي يوضح تجربة تبين اختلاف نتيجة تصادم عدة كرات مصنوعة من الحديد والزجاج والمطاط والمعجون عند سقوطها من ارتفاع معين على سطح صلب أملس، وذلك باختلاف الارتفاع الذي ترتد إليه الكرات بعد التصادم.

علاقة التصادم بطاقة الوضع وطاقة الحركة
إن النقص في طاقة وضع كل كرة من الكرات بين الارتفاع الذي سقطت منه والارتفاع الذي ارتدت إليه يمثل مقدار الطاقة الحركية التي فقدتها الكرة نتيجة التصادم، وذلك حسب قانون حفظ الطاقة.
يسمى التصادم تصادم مرن في حالة عدم وجود أي نقص في طاقة الحركة نتيجة التصادم. أما في حالة وجود نقصان في طاقة الحركة فيكون التصادم غير مرن.
وإذا التحم الجسمان معًا وتحركا كجسم واحد بعد التصادم تكون حالة خاصة من التصادم غير المرن وتسمى حالة تصادم عديم المرونة.
التصادم المرن Elastic Collision
تعريف
“التصادم المرن هو تأثير متبادل بين جسمين (أو أكثر) أحدهما على الأقل متحرك، بحيث يتحرك كل منهما بشكل منفرد قبل والتصادم وبعده، ويتحقق فيه قانونا حفظ الزخم وحفظ الطاقة الحركية قبل وبعد التصادم”.
ويكون التغير في الزخم P يساوي:
∆P = P f – P i
بالنسبة للجسم الأول:
∆P 1 = P 1f – P 1i
وبالنسبة للجسم الثاني:
∆P 2 = P 2f – P 2i
وبالتعويض عن قيمة الدفع P = m v يكون:
∆P 1 = m1 v 1f – m1 v 1i
∆P 2 = m2 v 2f – m2 v 2i
حيث أن:
v 1f: سرعة الجسم الأول قبل التصادم مباشرة
v 1i: سرعة الجسم الأول بعد التصادم مباشرة
v 2f: سرعة الجسم الثاني قبل التصادم مباشرة
v 2i: سرعة الجسم الثاني بعد التصادم مباشرة
وبحسب قانون نيوتن الثالث، لكل فعل رد فعل مساوِ له في المقدار ومضاد له في الاتجاه، يكون:
F 21 = – F 12
وحيث أن الصيغة العامة لقانون نيوتن الثاني:
(∆P )/(∆t )=F
وبالتعويض عن القوة، يكون:
(∆P1 )/(∆t )=- (∆P2 )/(∆t )
أي أن مجموع التغير في الزخم لكلا الجسمين يكون مساويًا للصفر:
∆P1 + ∆P2 = 0
أي أن:
m1 v 1f – m1 v 1i + m2 v 2f – m2 v 2i = 0
ومنها:
m1 v 1f + m2 v 2f = m1 v 1i + m2 v 2i
أي أن:
∑▒〖Pf= 〗 ∑▒〖Pi 〗
وهذه المعادلة تعني أنه في النظام المعزول ميكانيكيًا يكون الزخم للنظام قبل التصادم مباشرة يساوي الزخم له بعد التصادم مباشرة.
كذلك فإن مجموع الطاقة الحركية للجسمين قبل التصادم يساوي مجموع الطاقة الحركية للجسمين بعد التصادم مباشرة. وهذا يعني تطبيق قانون حفظ طاقة الحركة للنظام قبل وبعد التصادم.
أي أن:
∑▒〖Ki= 〗 ∑▒〖Kf 〗
1/2 m1 v21i + 1/2 m2 v22i = 1/2 m1 v21f + 1/2 m2 v22f
وتًستخدم المعادلات السابقة لإيجاد سرعة الجسمين المتصادمين بعد التصادم مباشرة.
السرعة النسبية للجسمين المتصادمين:
من المعادلات السابقة يمكن استنتاج أنه في حالة التصادم المرن في بُعد واحد تكون السرعة النسبية للجسمين قبل التصادم تساوي السرعة النسبية للجسمين بعد التصادم في المقدار وتعاكسها في الاتجاه. وهو ما يُعبر عنه رياضيًا بالعلاقة التالية:
v1i – v2i = – (v1f – v2f)
أو بالاختصار:
v12i = – (v12f)
حيث:
v12i تعني سرعة الجسم الأول بالنسبة للجسم الثاني قبل التصادم مباشرة.
v12f تعني سرعة الجسم الأول بالنسبة للجسم الثاني بعد التصادم مباشرة.
مثال (1)
جسم كتلته (4 kg) يتحرك لليمين بسرعة (2 m/s) اصطدم بجسم آخر كتلته (2 kg) يتحرك في اتجاه معاكس وبنفس السرعة. احسب سرعة كل من الجسمين بعد التصادم مباشرة إذا كان التصادم مرنًا.
الحل
بما أنه لدينا من قانون حفظ الزخم:
∑▒〖Pi= 〗 ∑▒〖Pf 〗
m1 v 1i + m2 v 2i = m1 v 1f + m2 v 2f
4 × 2 + 2 × (- 2) = 4 v 1f + 2 v 2f
2 = 2 v 1f + v 2f
v 2f = 2 – 2 v 1f
وكذلك لدينا:
v1i – v2i = – (v1f – v2f)
v1i – v2i = v2f – v1f
بالتعويض عن جميع القيم:
2 – (-2) = [ 2 – 2 v 1f] – v1f
4 = 2 – 3 v1f
v1f = -2/3 m/s
v2f = 10/3 m/s
التصادم غير المرن Inelastic Collision
يكون التصادم غير مرن عندما يفقد النظام من طاقته الحركية قبل التصادم، حيث تتحول هذه الطاقة إلى أشكال أخرى مثل الصوت أو التشوهات التي تحدث للأجسام المتصادمة.
وكغيره من أنواع التصادمات، يحقق التصادم غير المرن قانون حفظ الزخم.
أي أن:
∑▒〖Pi= 〗 ∑▒〖Pf 〗
m1 v 1i + m2 v 2i = m1 v 1f + m2 v 2f
إذا تصادم جسمين أو أكثر فإن المجموع الاتجاهي للزخم قبل التصادم يساوي المجموع الاتجاهي للزحم بعد التصادم.
والتغير في طاقة الحركة للنظام قبل وبعد التصادم يكون:
∆K = Kf – Ki = [1/2 m1 v21f + 1/2 m2 v22f] – [1/2 m1 v21i + 1/2 m2 v22i]
مثال (2)
تتحرك كرة كتلتها (2 kg) باتجاه الغرب بسرعة مقدارها 6 m/s، فتصطدم بكرة أخرى كتلتها (3 kg) تتحرك باتجاه الشرق بسرعة 4 m/s. إذا أصبحت سرعة الكرة الأولى مباشرة بعد التصادم 4.5 m/s. كما في الشكل حيث بقي الجسمان يتحركان على نفس الخط قبل وبعد التصادم، ودام التصادم 0.02 ثانية. احسب:
سرعة الكرة الثانية بعد التصادم مباشرة
متوسط القوة التي أثرت بها الكرة الأولى على الثانية أثناء التصادم
وحدد نوع التصادم

الحل
من قانون حفظ الزخم قبل وبعد التصادم، لدينا:
∑▒〖Pi= 〗 ∑▒〖Pf 〗
m1 v 1i + m2 v 2i = m1 v 1f + m2 v 2f
بالتعويض عن القيم المُعطاة:
2 × (-6) + 3 × (4) = 2 ×(4.5) + 3 v 2f
v 2f = – 3 m/s
الدفع على الكرة الثانية يساوي التغير في الزخم ∆P2:
F ∆t = ∆P2
F ∆t = m2 v 2i – m2 v 2f
F × (0.02) = 3 (-3 – 4)
F = – 1050 N
لتحديد نوع التصادم، نحسب طاقة الحركة قبل وبعد التصادم:
Ki = [1/2 m1 v21i + 1/2 m2 v22i]
Ki = [1/2 × 2 × 36 + 1/2 × 3 × 16] = 60 J
Kf = [1/2 m1 v21f + 1/2 m2 v22f]
Kf = [1/2 × 2 × 20.25 + 1/2 × 3 × 9] = 33.75
∆K = ∑▒〖Kf – 〗 ∑▒〖Ki 〗
∆K = 33.75 – 60 = – 26.25 J
الفرق في طاقة الحركة بإشارة سالبة يعني أن النظام فقد طاقة حركة، ويكون بالتالي هو تصادم غير مرن لأن الجسمان تحركا بشكل منفرد بعد التصادم.
التصادم عديم المرونةCompletely Inelastic Collision
عندما يصطدم جسمان ويلتحمان معًا ويتحركان كجسم واحد بعد التصادم ويصبح لهما سرعة واحدة، وتظل كمية التحرك محفوظة بينما يحدث نقصان للطاقة الحركية وهذا النقص يتحول إلى أشكال أخرى للطاقة، فإن هذا التصادم يسمى تصادم عديم المرونة.
ومن أمثلة التصادم عديم المرونة تصادم السهم مع قرص التصويب المعلق عندما يستقر فيه.
بتطبيق قانون حفظ الزخم للجسمين قبل وبعد التصادم:
مجموع الزخم للجسمين قبل التصادم = مجموع الزخم للجسمين بعد التصادم
∑▒〖Pi= 〗 ∑▒〖Pf 〗
m1 v 1i + m2 v 2i = (m1 + m2) (v f)
حيث أن v f هي سرعة الجسمين معًا بعد التصادم.
والتغير في طاقة الحركة للنظام قبل وبعد التصادم يكون:
∆K = Kf – Ki = [1/2 (m1 + m2) × v2f] – [1/2 m1 v21i + 1/2 m2 v22i]
مع ملاحظة أن النقصان في طاقة الحركة يعني أنه تحول إلى شكل آخر من أشكال الطاقة، وذلك بحسب قانون حفظ الطاقة والذي ينص على أن :الطاقة لا تُفنى ولا تُستحدث من عدم”.
مثال توضيحي
من الأمثلة الشهيرة على التصادم عديم المرونة هو البندول القذفي البسيط الذي يُستخدم في حساب سرعة اصطدام رصاصة تستقر في قطعة خشبية معلقة. وهو يتكون من كتلة خشبية معلقة بحبلين متساويين متوازيين غير مرنين، حيث تكون الكتلة الخشبية أكبر بكثير من كتلة الرصاصة.
وفي هذه الحالة فإن الطاقة الحركية المفقودة تتحول إلى طاقة وضع يمكن حسابها بمعرفة الارتفاع الذي تصل إليه المجموعة (القطعة الخشبية مع الرصاصة) بعد التصادم، حيث يكون:
طاقة الوضع = m g h
حيث:
m مجموع كتلة المجموعة (الكتلة الخشبية والرصاصة)
h هو أقصى ارتفاع تصل إليه المجموعة.
g تسارع الجاذبية الأرضية (9.8 m/s2).
مثال (3)
أُطلقت رصاصة كتلتها (30 g) على كتلة خشبية كتلتها (4.97 kg) معلقة كما في الشكل المقابل، فكان أقصى ارتفاع رأسي وصلت إليه المجموعة هو (8 cm) عن المستوى الأفقي الأصلي. احسب كل من:
سرعة المجموعة بعد التصادم مباشرة
سرعة الرصاصة قبل الاصطدام مباشرة
مقدار الطاقة الحركية المفقودة
الحل
من قانون حفظ الطاقة الميكانيكية، فإن مقدار طاقة الحركة للمجموعة بعد التصادم مباشرة يساوي مقدار طاقة الوضع المكتسبة. أي أن:
m g h = 1/2 m vf2
حيث m = m1 + m2
بالتعويض ينتج أن:
m g h = 1/2 m vf2
g h = 1/2 vf2
vf = √2gh = 1.26 m/s
من قانون حفظ الزخم:
m1 v1i + m2 v 2i = (m1 + m2) (v f)
0.3 × v1i + m2 × 0 = (4.97 + 0.3) × (1.26)
v1i = 210 m/s
مقدار الطاقة الحركية المفقودة:
∆K = Kf – Ki = [1/2 (m1 + m2) × v2f] – [1/2 m1 v21i + 1/2 m2 v22i]
بالتعويض ينتج أن:
∆K = [1/2 (4.97 + 0.3) × 1.262] – [1/2 × 0.3 × 2102]
∆K = 4 – 661.5 Kg.m2/s2 = – 657.5 J

التصادم في بُعدين Two –Dimensional Collision

التصادم في بُعدين هو التصادم الذي لا تتحرك فيه الأجسام المتصادمة في خط مستقيم قبل وبعد التصادم أو لا تبقى على نفس الخط المستقيم قبل وبعد التصادم. ومن أمثلتها تصادم كرات البلياردو حيث تتحرك قبل وبعد التصادم بشكل يصنع زوايا فيما بينا وليس في خط مستقيم.
ومثل كل أنواع التصادمات، يتحقق قانون حفظ الزخم في التصادم في بُعدين في كلا الاتجاهين (السيني والصادي)، أما قانون حفظ الطاقة الحركية فيعتمد على ما إذا كان التصادم مرن أو غير مرن أو عديم المرونة.
بتطبيق قانون حفظ الزخم للجسمين قبل وبعد التصادم:
مجموع الزخم للجسمين قبل التصادم = مجموع الزخم للجسمين بعد التصادم
على المحور السيني:
∑▒〖Pix= 〗 ∑▒〖Pfx 〗
m1 v1ix + m2 v2ix = m1 v1fx + m2 v2fx

وبمعرفة الزوايا التي يصنعها كل جسم مع المحور السيني بعد التصادم، يمكن إعادة كتابة معادلة حفظ الزخم كما يلي:
m1 v1ix + m2 v2ix = m1 v1f cos ϴ + m2 v2f cos β

على المحور الصادي:
∑▒〖Piy= 〗 ∑▒〖Pfy 〗
m1 v1iy + m2 v2iy = m1 v1fy + m2 v2fy
m1 v1iy + m2 v2iy = m1 v1f sin ϴ + m2 v2f sin β
والتغير في طاقة الحركة للنظام قبل وبعد التصادم يكون:
∆K = Kf – Ki = [1/2 m1 v21f + 1/2 m2 v22f] – [1/2 m1 v21i + 1/2 m2 v22i]
وفي حالة إذا التحم الجسمان بعد التصادم مباشرة، يتم التعامل مع الجسم الناتج وكأن كتلته تساوي m = m1 + m2 وتطبيق نفس المعادلات.
مثال (4)
اصطدمت سيارة تتحرك نحو الشرق بسرعة مقدارها (13 m/s) بسيارة أخرى مماثلة لها في الكتلة تتحرك باتجاه الشمال عند مفترق طرق فالتحمت السيارتان معًا وتحرك الحطام باتجاه زاوية مقدارها 55 درجة شمال الشرق. وعندما جاء شرطي المرور ادعى سائق السيارة المتجهة شمالاً أن سرعته لم تتجاوز 60 km/h. هل ما قاله السائق يطابق ما توصل إليه شرطي المرور عند معاينة الحادث؟

الحل
من قانون حفظ الزخم في الاتجاه السيني:
∑▒〖Pix= 〗 ∑▒〖Pfx 〗
m1 v1ix + m2 v2ix = m1 v1fx + m2 v2fx
وبمعرفة أن السيارة الأولى كتلتها m تصنع زاوية مقدارها صفر مع المحور السيني، والسيارة الثانية كتلتها m أيضًا وتصنع زاوية مقدارها (90 درجة) مع المحور السيني، وحطام السيارتين معًا كتلته 2m ويصنع زاوية مقدارها (55 درجة) مع المحور السيني، فيكون:
m × 13 cos (0) + m × v2 cos (90) = (2m) × vf cos (55)
13 + 0 = 2 vf cos (55)
vf = 11.33 m/s
وفي الاتجاه الصادي:
∑▒〖Piy= 〗 ∑▒〖Pfy 〗
m1 v1iy + m2 v2iy = m1 v1fy + m2 v2fy
أي أن:
m v1i sin (0) + m v2i sin (90) = (2m) vf sin(55)
0 + v2i = 2 × vf sin(55)
بالتعويض عن سرعة الحطام vf ينتج أن:
v2i = 2 × 11.33 × sin(55)
v2i = 18.56 m/s = 18.56 × 3600 / 1000 km/h = 66.8 km/h
أي أن سرعة السيارة الثانية بعد التصادم تساوي 66.8 k/h وهي لا تطابق ما ادعاه السائق.

الفصل الثالث
الحركة الدورانية Rotational Motion

متغيرات الحركة الدورانية

الحركة الدورانية هي حركة جسم بشكل دائري حول محور ثابت يُسمى محور الدوران.
يتم تحديد موضع الجسم الذي يتحرك حركة دورانية من خلال معرفة مقدار الزاوية ϴ التي يصنعها أثناء الدوران مع اتجاه ثابت مرجعي، أي الزاوية المحصورة بين المحور السيني والاتجاه الثابت.

الموضع الزاوي
ϴ = s/r
حيث:
s هي الجزء من الدائرة المناظر للمسافة التي يقطعها الجسم حتى يصنع الزاوية ϴ.
r نصف قطر الدائرة.
مع ملاحظة أن وحدة قياس الزاوية ϴ هو بالتقدير الدائري rad. حيث أن:
360 = 2π rad
الإزاحة الزاوية
يمكن التعبير عن الإزاحة الزاوية التي يقطعها الجسم الذي يتحرك حركة دورانية من خلال حساب الزيادة في مقدار الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه المرجعي الثابت. أي أن الإزاحة الزاوية ϴ∆ تساوي:
∆ϴ = ϴ2 – ϴ1
والإزاحة الزاوية هي كمية فيزيائية متجهة، وقد اعتمد أن تكون بإشارة موجبة إذا كانت الحركة عكس اتجاه عقارب الساعة، وتكون سالبة إذا كانت الحركة باتجاه عقارب الساعة.

السرعة الزاوية
إذا افترضنا أن الجسم الذي يتحرك حركة دورانية كان يتواجد في الموضع الزاوي ϴ1 عند الزمن t1 ثم تواجد في الموضع الزاوي ϴ2 عند الزمن t2، فإنه يمكن تعريف متوسط السرعة الزاوية للجسم خلال الفترة الزمنية ∆t = t2 – t1 بحيث تكون:
ω avg = (ϴ2 – ϴ1)/(t2 – t1) = ∆ϴ/∆t
التسارع الزاوي
إذا كانت سرعة الجسم غير ثابتة وافترضنا أن سرعته تغيرت من ω1 إلى ω2 في الوقت t1 وt2 على الترتيب، فإنه يمكن حساب متوسط التسارع الزاوي α كما يلي:
α avg = = (ω2 – ω1)/(t2 – t1) = ∆ω/∆t
والتسارع الزاوي هو كمية متجهة ويتم حساب اتجاه التسارع باستخدام قاعدة اليد اليُمنى، كما بالشكل التالي:

العلاقة بين متغيرات الحركة الخطية والحركة الزاوية
عند المقارنة بين الحركة في خط مستقيم والحركة الزاوية، يمكن إيجاد العلاقة بين متغيرات الحركة الخطية (الموضع الإزاحة والسرعة والتسارع) وما يناظرها في الحركة الزاوية كما يلي:
الموضع الخطي:
موضع جسم يبعد مسافة r عن محور الدوران ويصنع زاوية مقدارها ϴ مع الاتجاه المرجعي الثابت ويقطع إزاحة القوس s من الدائرة، حيث:
s = ϴ r
السرعة الخطية:
يمكن اشتقاق السرعة الخطية عندما يتحرك الجسم حركة دورانية ويتغير موضعه بمرور الزمن كما يلي:
v = ∆s/∆t
v = ∆ϴ/∆t × r
v = ω r
التسارع الخطي المماسي:
في حالة تغير مقدرا السرعة الخطية للجسم المتحرك حركة دورانية، يمكن حساب التسارع الخطي المماسي للجسم at، ويعني التسارع الذي في اتجاه المماس (وهو التسارع الناتج عن التغير في قيمة السرعة فقط وليس الاتجاه) ويتم حسابه كما يلي:
at = ∆v/∆t
at = ∆ω/∆t × r
at = α × r
التسارع الخطي المركزي:
وهو التسارع الناتج عن التغير في اتجاه السرعة للجسم المتحرك حركة دائرية، وهو كمية متجهة واتجاهه عمودي على محور الدوران باتجاه المركز، ويمكن حسابه حسب العلاقة التالية:
ac = v^2/r
ac = ω^2 × r (بالتقدير الدائري)

القصور الدوراني Moment of Inertia أو Rotational Inertia

القصور الدوراني هو مقاومة الجسم للقوة التي تحاول إحداث تغيير في حالة حركة الجسم الدورانية، ويُرمز له بالرمز I.
نفرض أنه لدينا جسم نقطي كتلته m يتحرك حركة دورانية في مسار دائري نصف قطره r فإن القصور الدوراني يمكن حسابه من خلال العلاقة التالية:
〖I =m×r〗^2
وهو مقدار موجب دائمًا. وكذلك هو كمية قياسية وليست متجهة.
من معادلة حساب القصور الدوراني يمكن استنتاج أن وحدة قياسه = كجم × متر 2، أو بالرموز kgm.m2.
القصور الدوراني لمجموعة من الأجسام
القصور الدوراني لمجموعة من الأجسام التي تتحرك حركة دورانية هو المجموع الجبري لحاصل ضرب كتلة كل جسم في مربع نصف قطر الدائرة، أي أن:
I = ∑▒〖m_i r_i^2 〗
I = ∑▒〖m_1 r_1^2 〗 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 + …
القصور الدوراني لجسم صلب كبير
يتم حساب القصور الدوراني للجسم الصلب الكبير مثل (الكرة، الأسطوانة الدائرية، سلك رفيع، .. إلخ) عن طريق حساب التكامل كما يلي:
I = ∫▒r^2 dm
والجدول التالي يبين نتيجة حساب القصور الدوراني لبعض الأجسام الشائعة في المسائل:
الجسم محور الدوران القصور الدوراني I
سلك رفيع طوله L عمودي على السلك عند الطرف 1/12 ML2
عمودي على السلك عند المركز 1/3 ML2
طوق نصف قطره R يمر من المركز في مستواه 1/2 MR2
يمر من المركز عموديًا على مستواه MR2
قرص رقيق مصمت نصف قطره R يمر من المركز في مستواه 1/4 MR2
يمر من المركز عموديًا على مستواه 1/2 MR2
كرة صلبة مصمتة نصف قطرها R أي قطر فيها 2/5 MR2
قشرة كروية رقيقة نصف قطرها R أي قطر فيها 2/3 MR2
أسطوانة مصمتة قائمة نصف قطرها R وطولها L محورها الطولي 1/2 MR2

مثال (1)
وُضع جسمان نقطيان كتلتاهما (5 kg)، (7 kg) على بعد (4 m) على ساق معدني خفيف مهمل الوزن، كما في الشكل التالي. احسب القصور الدوراني للنظام في حالة:
عندما يدور حول محور في منتصف المسافة بينهما
عندما يدور حول محور يبعد مسافة (0.5 m) إلى يسار الجسم الذي كتلته (7 kg).

الحل
الحالة الأولى:
I = ∑▒〖m_i r_i^2 〗
I = m_1 r_1^2+m_2 r_2^2
I = 5 × (2)2 + 7 × (2)2 = 48 kg.m2
الحالة الثانية:
I = ∑▒〖m_i r_i^2 〗
I = m_1 r_1^2+ m_2 r_2^2
I = (5) × (0.5)2 + 7 × (4.5)2 = 143 kg.m2
العزم الدوراني Torque
عندما تؤثر قوة مقدارها F على جسم كتلته m وتجعله يتحرك حركة دورانية حول محور معين، بحيث تؤثر القوة في نقطة تبعد مسافة r عن المحورـ فيكون لهذه القوة عزم يطلق عليه عزم القوة الدوراني، وهذا العزم يتسبب في حركة الجسم حركة دائرية حول المحور. ويُرمز له بالرمز Ꚍ.
ومن أمثلة ذلك القوة التي تؤثر على باب من أجل فتحه، فكلما كانت نقطة تأثير القوة قريبة من محور دوران الباب كانت الحاجة لقوة أكبر من أجل فتحه، وكلما ابتعدنا عن محور الدوران تكون الحاجة لقوة أقل من أجل فتح الباب. الشكل التالي يوضح مقطع رأسي لهذا المثال.

وتسمى المسافة بين نقطة تأثير القوة على الجسم ومحور دوران الجسم ذراع الرافعة، أو ذراع القوة. ويتم حساب العزم الدوراني حسب العلاقة الشهيرة التالية:
العزم = القوة × ذراع القوة
Ꚍ = r × F
ولكن في حالة الحركة الدورانية، يكون المطلوب احتساب حاصل ضرب مركب الاتجاه العمودي لذراع القوة rꓕ في القوة F، وبالتالي تصبح العلاقة كما يلي:
Ꚍ = r_ꓕ × F
أي أن:
Ꚍ = r sin ϴ × F
Ꚍ = r × F sin ϴ
حيث ϴ هي الزاوية التي تصنعها القوة F مع ذراع القوة r.
وهي النتيجة التي نحصل عليها عند ضرب مركب الاتجاه العمودي للقوة Fꓕ في ذراع القوة r.
أما مركب الاتجاه الذي في نفس اتجاه القوة فليس له تأثير على العزم الدوراني ولا يتم احتسابه.
وحدة قياس عزم القوة
من معادلة حساب العزم، يمكن استنتاج وحدة قياس عزم القوة بأنها = نيوتن × متر (N.m).
اتجاه عزم القوة
عزم القوة هي كمية فيزيائية متجهة ويتم تحديد اتجاهها باستخدام قاعدة اليد اليُمنى.
فإذا اعتبرنا أن أصابع اليد اليُمنى تُشير إلى اتجاه الدوران، فإن الإبهام سيشير إلى اتجاه العزم. مثلا لو اعتبرنا أننا نقوم بإدارة برغي باتجاه عقارب الساعة فإن اتجاه العزم سيكون عمودي على الورقة إلى الداخل.
مثال (2)
احسب العزم الدوراني للقوتين F1 و F2 المؤثرتين على جسم نقطي يتحرك حركة دورانية لحظة مروره بالنقطة K حول محور دوران بمر بالنقطة C في المستوى الأفقي كما بالشكل التالي:

الحل
بالنسبة للقوة F1 فهي قوة مماسية عمودية على ذراع القوة. ويكون:
Ꚍ1 = r × F1 sin ϴ
Ꚍ1 = r × F1 sin 90 = r × F1
واتجاه العزم هو خارج الورقة حسب قاعدة اليد اليمنى.
أما بالنسبة للقوة F2 فهي قوة مركزية باتجاه ذراع القوة، ويكون:
Ꚍ2 = r × F1 sin 180 = 0
ومن أجل تفسير الفرق بين القوتين واتجاه تأثيرهما وعلاقته بالعزم الدوراني، تخيل أنك تقوم بمحاولة فتح باب عن طريق دفعه بقوة F1 من نقطة تبعد مسافة r باتجاه عمودي على ذراع القوة r كما في حالة القوة F1 في الشكل أعلاه، وتخيل أنك تحاول فتح نفس الباب عن طريق دفعه بقوة F2 من نقطة تبعد مسافة r ولكن باتجاه محور الدوران وكأنك تضغط عليه باتجاه الحائط، كما في حالة القوة F2 في الشكل أعلاه، وسوف يتضح لك على الفور لماذا يتم فتح الباب في الحالة الأولى لأن هناك عزم دوراني ولا يتأثر في الحالة الثانية لأن العزم الدوراني يساوي صفر.

القانون الثاني لنيوتن في الحركة الدورانية

في الشكل التالي جسم كتلته m يتحرك حركة دورانية في مسار دائري نصف قطره r تحت تأثير قوة مماسية مقدارها Ft وتتولد نتيجة لذلك قوة مركزية FC باتجاه المركز.

بتطبيق قانون نيوتن الثاني:
Ft = m at
حيث at هو التسارع الخطي المماسي، والذي يساوي:
at = α×r
ويكون العزم الدوراني Ꚍ يساوي:
Ꚍ = Ft × r
بالتعويض ينتج أن:
Ꚍ = Ft × r = [m at] × r = [m × α × r] × r = m α r2
أي أن:
Ꚍ = m α r2
أو:
Ꚍ = (m r2) × α
ولكن من معادلة حساب القصور الدوراني، لدينا:
I = m r2
بالتعويض ينتج أن:
Ꚍ = I × α
وهذه المعادلة هي نتيجة مترتبة على قانون نيوتن الثاني والتي تنص على أنه: يتناسب التسارع الزاوي لجسم ستحرك دورانيًا حول محور طرديًا مع محصلة العزوم المؤثرة فيه وعكسيًا مع قصوره الدوراني بالنسبة للمحور نفسه. أي أن:
α = Ꚍ / I
التفسير الفيزيائي
لتوضيح مفهوم النتيجة التي تم التوصل إليها حول علاقة التسارع الزاوي بالقصور الدوراني ومحصلة العزوم المؤثرة على جسم، يمكن تصور الفرق بين حركة الجسمين المبينين بالشكل التالي:

فبالرغم من أن الجسمين متساويان في الكتلة، إلا أن تأثير العزم على الأول أكبر من تأثيره على الثاني، وذلك نظرًا لأنه يدور حول محور بنصف قطر أكبر من الثاني، وبالتالي فإن القصور الدوراني له يكون أقل من الثاني. وهذا هو الاختلاف بين الحركة المستقيمة التي تعتمد على الكتلة فقط وبين الحركة الدورانية التي تعتمد على عوامل أخرى مثل نصف قطر الدائرة r.
مثال (3)
يتحرك جسم نقطي كتلته (2 kg) في المستوى XY، بحيث يُعطى موضعه والقوة المؤثرة عليه في لحظة معينة بالمتجهين الموضحين في الشكل أدناه، حيث: F = 4 N وr = 2 m .
احسب العزم المؤثر على الجسم بالنسبة لمحور للعمودي على المستوى XY. وما هو التسارع الزاوي للجسم.

الحل
باستخدام قاعدة اليد اليُمنى يكون اتجاه العزم عمودي على مستوى XY خارج الورقة، أي باتجاه المحور Z.
من معادلة حساب العزم الدوراني، لدينا:
Ꚍ = r × F sin ϴ
Ꚍ = r × F sin 30 = 2 × 4 × 0.5 = 4 N.m
ومن معادلة القصور الدوراني، لدينا:
α = Ꚍ / I
أو:
Ꚍ = (m r2) × α
4 = 2 × (2)2 × α
a = 0.5 rad/s2
بالتقدير الدائري.
الطاقة الحركية الدورانية Kinetic Energy in Rotation Motion
معادلة حساب طاقة الحركة في الحركة الخطية هي كما يلي:
K = 1/2 m v^2
كما توصلنا إلى أن السرعة الخطية v بدلالة السرعة الزاوية ω تساوي:
v = r ω
بالتعويض في معادلة حساب طاقة الحركة ينتج أن:
K = 1/2 m 〖(rω)〗^2
K = 1/2 m r^2 ω^2
ولكن القصور الدوراني I = m r2
بالتعويض عنه في معادلة حساب طاقة الحركة ينتج أن:
K = 1/2 I ω^2
ويُلاحظ التشابه بين معادلة حساب طاقة الحركة في كل من الحركة الخطية والحركة الدورانية، فهي تساوي نصف حاصل ضرب الممانعة (الكتلة في الحركة الخطية أو القصور الدوراني في الحركة الدورانية) ضرب مربع السرعة (السرعة الخطية أو السرعة الزاوية).
مثال (4)
احسب الطاقة الحركية الدورانية لدولاب القصور الدوراني له يساوي (1.12 kg.m2) يدور بمعدل 6 دورات في الثانية.
الحل
نحسب السرعة الزاوية ω
ω = 2 π × f
ω = 2 π × 6 = 12 π (rad/s)
K = 1/2 I ω^2
K = 1/2 (1.12) × (12π)2 = 795 J

الزخم الزاوي Angular Momentum

الزخم الزاوي لجسم نقطي كتلته m يتحرك بسرعة v بالنسبة لمحور يبعد عن الجسم مسافة محددة بالمتجه r (مقاسًا من محور الدوران إلى الجسم) يُعطى بالعلاقة:
L = r × p
حيث p هي الزخم الخطي للجسم. وهو يساوي: p = m v
كما أن السرعة الخطية v تساوي: v = r ω

والآن بالتعويض عن كل من p و v على الترتيب ينتج أن:
L = r × m v
L = r × m r ω
L =m r^2 ω
ولكن القصور الدوراني I = m r2، وبالتعويض عنه نحصل على علاقة الزخم الزاوي:
L =I ω
والزخم الزاوي هو كمية فيزيائية متجهة، تعبر عن حاصل ضرب العزم الدوراني في السرعة الزاوية. ويتم تعيين اتجاه الزخم الزاوي باستخدام قاعدة اليد اليُمنى.
وحدة قياس الزخم الزاوي = وحدة قياس القصور الدوراني × وحدة قياس السرعة الزاوية = (كجم × متر 2) × (راد / ثانية)، أو بالرموز: kg.m2.rad/s.
صيغة قانون نيوتن الثاني بدلالة التغير في الزخم
من صيغة قانون نيوتن الثاني بدلالة معدل التغير في الزخم الخطي بالنسبة للزمن، لدينا:
F_net = ∆P/∆t
ومن التماثل بين الحركة الخطية والحركة الدورانية، تكون الصيغة المناظرة لقانون نيوتن الثاني بدلالة معدل التغير في الزخم الزاوي بالنسبة للزمن:
Ꚍ_net = ∆L/∆t
حيث أن:
Ꚍ_net : العزم الكلي الذي يعمل على تدوير الجسم.
: ∆Lالتغير في الزخم الزاوي خلال الفترة الزمنية.
أي أن محصلة العزوم المؤثرة على جسم يتحرك حركة دورانية حول محور ثابت تساوي المعدل الزمني للتغير في الزحم الزاوي للجسم.
قانون حفظ الزخم الزاوي
في ظل ظروف معينة، يكون الزخم الزاوي كمية فيزيائية محفوظة، بحيث ينطبق قانون حفظ الزخم الزاوي. ونتيجة لذلك فإن العزم الكلي يساوي صفر (لأن الزخم الزاوي ثابت لا يتغير).
وبالتالي يكون:
Ꚍ_net = ∆L/∆t= 0
∆L = 0
L 2 – L 1 = 0
L 1 = L 2
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
وينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أنه:
“الزخم الزاوي لجسم أو لمجموعة من الأجسام ثابت ما لم تؤثر عليها عزوم دوران خارجية”.
ومن شروط حفظ الزخم الزاوي:
أن تكون محصلة العزوم المؤثرة على الجسم أو النظام تساوي صفر.
أن يبقى محور الدوران ثابتًا بدون تغيير.
مثال (5)
تدور الأرض حول محورها مرة واحدة في كل يوم. لو افترضنا أن الأرض انكمشت بطريقة ما بحيث أصبح قطرها مساويًا لنصف قيمته الحالية. فما هي سرعة الأرض في هذه الحالة الافتراضية. (استخدم العلاقة I = 2/5 mr2 من الجدول).
الحل
بما أنه لا يؤثر أي عم خارجي على الأرض في حالة الانكماش، وبما أن محور الدوران ثابت، إذن ينطبق قانون حفظ الزحم الزاوي، أي أنه يكون الزخم الزاوي في الحالة العادية يساوي الزخم الزاوي في الحالة الافتراضية، أو بالرموز:
L1 = L2
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
2/5 m_1 r_1^2 ω1 = 2/5 m_2 r_2^2 ω2
وباعتبار أن كتلة الأرض لم تتغير، أي أن: m1 = m2
وكذلك لدينا من الافتراض: r1 = 2 r2
بالتعويض في المعادلة، نحصل على:
2/5 m_1 r_1^2 ω1 = 2/5 m_2 ×1/4 r_1^2 ω2
ω1 = 1/4 ω_2
ω2 = 4 ω1
أي أن سرعة الأرض الزاوية في هذه الحالة الافتراضية سوف تكون 4 دورات في اليوم، ويصبح بالتالي اليوم فقط 6 ساعات.

الفريد في الفيزياء
للثانوية العامة – القسم العلمي
الوحدة الأولى: الميكانيكا

سلسلة متخصصة في شرح وتوضيح وتبسيط المناهج الدراسية في فلسطين
إعداد: د. مصطفى عبيد

الطبعة الأولى – فلسطين
العام الدراسي: 2024/2025

إن أي طبع أو نسخ أو إعادة نشر لمحتوى هذا الكتاب أو لأي جزء منه بأي شكل كان دون الحصول على الموافقة الكتابية من المؤلف يعرض صاحبه للمساءلة القانونية.