التسارع - متوسط التسارع والتسارع اللحظي | مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

التسارع – متوسط التسارع والتسارع اللحظي

الأهداف: بنهاية هذا القسم حول موضوع التسارع – متوسط التسارع والتسارع اللحظي، سيكون القارئ قادرًا على:

حساب متوسط التسارع بين نقطتين خلال فترة زمنية محددة.
حساب التسارع اللحظي من دالة السرعة.
شرح طبيعة متجه التسارع اللحظي ومتجه السرعة.
شرح الفرق بين متوسط التسارع والتسارع اللحظي.
إيجاد التسارع اللحظي في فترة زمنية محددة على الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت.

المحتويات

تمتد أهمية فهم التسارع أو العَجَلة Acceleration إلى خبرتنا في الحياة اليومية، فضلاً عن الامتدادات الشاسعة للفضاء الخارجي والعالم الصغير للفيزياء دون الذرية. في المحادثة اليومية، التسريع يعني زيادة السرعة كما هي الحال عند الضغط على دواسة البنزين في السيارة؛ كما يؤدي الضغط على دواسة الفرامل إلى إبطاء السيارة. نحن على دراية بتسارع سيارتنا. كلما زاد التسارع أو العجلة، زاد التغيير في السرعة خلال فترة زمنية معينة. يُلاحظ التسارع على نطاق واسع في الفيزياء التجريبية. في تجارب معجل الجسيمات الخطي، على سبيل المثال، يتم تسريع الجسيمات دون الذرية إلى سرعات عالية جدًا في تجارب الاصطدام، والتي تخبرنا بمعلومات حول بنية العالم دون الذري وكذلك أصل الكون.

في الفضاء، الأشعة الكونية عبارة عن جسيمات دون ذرية تم تسريعها إلى طاقات عالية جدًا في السوبرنوفا (انفجار النجوم الضخمة) ونواة المجرة النشطة. من المهم أن نفهم العمليات التي تسرع الأشعة الكونية لأن هذه الأشعة تحتوي على إشعاع شديد الاختراق يمكن أن يلحق الضرر بالإلكترونيات المحمولة على المركبات الفضائية مثلاً.

متوسط التسارع

يتوافق التعريف الرسمي للتسارع مع هذه المفاهيم التي تم وصفها للتو، ولكنه أكثر شمولاً.

معادلة حساب متوسط التسارع

متوسط التسارع هو المعدل الذي تتغير فيه السرعة، ومن هذا التعريف يكون:

\overset{–}{a} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}},

(3.8)

حيث a هي متوسط التسارع، وv هي السرعة، وt الزمن. (الخط تحت a يعني متوسط التسارع).

نظرًا لأن التسارع هو السرعة بالأمتار في الثانية مقسومًا على الوقت بالثواني، غالبًا ما يتم اختصار وحدات التسارع في النظام الدولي للوحدات متر / ث ² – أي متر لكل ثانية تربيع أو متر لكل ثانية في الثانية. هذا يعني حرفيًا عدد الأمتار في الثانية التي تتغير فيها السرعة كل ثانية. تذكر أن السرعة متجه – لها المقدار والاتجاه – مما يعني أن التغيير في السرعة يمكن أن يكون تغيرًا في المقدار (أو السرعة)، ولكن يمكن أيضًا أن يكون تغيرًا في الاتجاه. على سبيل المثال، إذا تباطأ العداء الذي يجري بسرعة 10 كم/ساعة باتجاه الشرق إلى أن يتوقف، وعكس الاتجاه، واستمر في الجري بسرعة 10 كم / ساعة باتجاه الغرب، فقد تغيرت سرعته نتيجة للتغيير في الاتجاه، على الرغم من أن مقدار السرعة هي نفسها في كلا الاتجاهين. وهكذا، يحدث التسارع عندما تتغير السرعة في المقدار (زيادة أو نقصان السرعة) أو في الاتجاه، أو في كليهما.

التسارع ككمية متجهة

التسارع متجه يكون في نفس اتجاه التغير في السرعة Δv. نظرًا لأن السرعة متجه، فيمكن أن تتغير في المقدار أو في الاتجاه أو كليهما. وبالتالي، فإن التسارع هو تغيير في السرعة أو الاتجاه أو كليهما.

ضع في اعتبارك أنه على الرغم من أن التسارع يكون في اتجاه التغير في السرعة، إلا أنه لا يكون دائمًا في اتجاه الحركة. عندما يتباطأ جسم ما، فإن تسارعه يكون عكس اتجاه حركته. على الرغم من أن هذا يشار إليه عادةً باسم التباطؤ الشكل 3.10، إلا أننا نقول إن القطار يتسارع في اتجاه معاكس لاتجاه حركته.

الشكل 3.10: قطار مترو أنفاق في ساو باولو، البرازيل، يتباطأ عندما يصل إلى المحطة. إنه يتسارع في اتجاه معاكس لاتجاه حركته. (الصورة: بواسطة Yusuke Kawasaki)

يمكن لمصطلح التباطؤ أن يسبب ارتباكًا في تحليلنا لأنه ليس متجهًا ولا يشير إلى اتجاه معين فيما يتعلق بنظام إحداثيات، لذلك نحن لا نستخدمه. التسارع متجه (أو كمية متجهة)، لذلك يجب أن نختار الإشارة المناسبة له في نظام الإحداثيات الذي اخترناه. في حالة القطار في الشكل 3.10، يكون التسارع في الاتجاه السالب في نظام الإحداثيات المختار، لذلك نقول إن القطار يخضع لتسارع سلبي أو سالب.

إذا كانت سرعة الجسم المتحرك في الاتجاه الموجب بالنسبة إلى الأصل المختار واكتسب تسارعًا سلبيًا ثابتًا، فإن الجسم في النهاية يتوقف عن السير ويعكس اتجاهه. إذا انتظرنا لفترة كافية، يمر الجسم من خلال الأصل وهو يسير في الاتجاه المعاكس. هذا موضح في الشكل 3.11.

الشكل 3.11: جسم متحرك مع متجه سرعة باتجاه الشرق تحت تسارع سالب يتوقف عن الحركة ويعكس اتجاهه. يمر بالأصل في الاتجاه المعاكس بعد وقت طويل بما فيه الكفاية.

مثال 3.5: حساب متوسط التسارع

يتسارع حصان السباق الخارج من البوابة من السكون إلى ويصل إلى سرعة 15.0 م / ث باتجاه الغرب خلال 1.80 ثانية. ما هو متوسط تسارعه؟

الشكل 3.12: خيول السباق تتسارع خارج البوابة. (الصورة بواسطة: جون سوليفان)

إستراتيجية الحل

أولاً، نرسم مخططًا ونخصص نظام إحداثيات للمسألة، شكل 3.13. هذه مسألة بسيطة، لكنها تساعد دائمًا في رسمها. لاحظ أننا نصنف الشرق على أنه موجب والغرب سالب. وهكذا، في هذه الحالة، لدينا سرعة سالبة.

الشكل 3.13: حدد نظام الإحداثيات والمعلومات المقدمة كمعطيات وما تريد حسابه.

يمكننا حل هذه المسألة عن طريق تحديد Δv و t من المعلومات المعطاة، ثم حساب متوسط التسارع مباشرة من المعادلة:

\overset{–}{a} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}

الحل

أولاً، حدد العناصر المعروفة:v₀ = 0 ، v_f = −15.0 m/s (تشير الإشارة السالبة إلى الاتجاه نحو الغرب)، Δt = 1.80 s.

ثانيًا، أوجد التغير في السرعة. نظرًا لأن الحصان ينتقل من صفر إلى 15.0 م/ث، فإن التغير في السرعة يساوي سرعته النهائية:

Δv = v_f – v₀ = v_f = −15.0 m/s

أخيرًا، استبدل القيم المعروفة (Δv و Δt) وحل من أجل المجهول a:

a = Δv / Δt = (−15.0 m/s) / (1.80 s) = −8.33 m/s²

الدلالة

تشير العلامة السالبة الخاصة بالتسارع إلى أن التسارع باتجاه الغرب. التسارع البالغ 8.33 م/ث² باتجاه الغرب يعني أن الحصان يزيد سرعته بمقدار 8.33 م/ث باتجاه الغرب كل ثانية؛ أي 8.33 مترًا لكل ثانية في الثانية، ونكتبها على النحو التالي: 8.33 مترًا / ثانية². هذا حقًا متوسط التسارع، لأن ركوب الخيل ليس سلسًا. نرى لاحقًا أن تسارعًا بهذا المقدار سيتطلب من الراكب التمسك بقوة تساوي وزنه تقريبًا.

تحقق من فهمك

يتم تسريع البروتونات في مسرع خطي من السكون إلى 2.0 × 10 ⁷ م/ث في 10^-4 ثوانٍ. ما هو متوسط تسارع البروتونات؟

التسارع اللحظي

يتم الحصول على التسارع اللحظي a، أو التسارع في لحظة زمنية محددة، باستخدام نفس العملية التي تمت مناقشتها من أجل إيجاد السرعة اللحظية. أي أننا نحسب متوسط التسارع بين نقطتين خلال فترة زمنية مفصولة بـ t ونترك Δt يقترب من الصفر. والنتيجة هي مشتق من دالة السرعة v(t)، وهي تسارع لحظي ويتم التعبير عنها رياضيًا على النحو التالي:

a (t) = \frac{d}{d t} v (t) .

(3.9)

وهكذا، على غرار السرعة التي تكون مشتقًا من دالة الموضع، فإن التسارع اللحظي هو مشتق من دالة السرعة. يمكننا إظهار ذلك بيانيًا بنفس طريقة عرض السرعة اللحظية. في الشكل 3.14، التسارع اللحظي في الوقت t₀ هو ميل الخط المماس للرسم البياني للسرعة مقابل الوقت في الوقت t₀. نرى أن متوسط التسارع a = Δv / Δt يقترب من التسارع اللحظي عندما تقترب t من الصفر. أيضًا في الجزء (a) من الشكل، نرى أن السرعة لها حد أقصى عندما يكون ميلها صفرًا. هذا الوقت يتوافق مع الصفر في دالة التسارع. في الجزء (b)، يتم عرض التسارع اللحظي عند أدنى سرعة، والتي تكون أيضًا صفرًا ، نظرًا لأن ميل المنحنى يساوي صفرًا هناك أيضًا. وهكذا، بالنسبة لدالة سرعة معينة، تعطي أصفار دالة التسارع إما السرعة الدنيا أو القصوى.

مفهوم التسارع الثابت

الشكل 3.14: في رسم بياني للسرعة مقابل الوقت، التسارع اللحظي هو ميل خط المماس. (a) الموضح هو متوسط التسارع a = Δv/Δt = (v_f – v_i)/(t_f – t_i) بين الأوقات Δt = t₆ – t₁، Δt = t₅ – t₂، و t = t₄ – t₃. عندما Δt → 0 ، يقترب متوسط التسارع من التسارع اللحظي في الوقت t₀. في العرض (a)، يتم عرض التسارع اللحظي للنقطة الموجودة على منحنى السرعة بأقصى سرعة. عند هذه النقطة، التسارع اللحظي هو ميل خط المماس، وهو صفر. في أي وقت آخر، لن يكون ميل خط المماس – وبالتالي التسارع اللحظي – صفرًا. (b) مثل (a) ولكن يعرض التسارع اللحظي بأدنى سرعة.

لتوضيح هذا المفهوم، دعونا نلقي نظرة على مثالين. أولاً، يتم عرض مثال بسيط باستخدام الشكل 3.9 (ب)، الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت في المثال 3.3، لإيجاد التسارع بيانيًا. يوضح الشكل 3.15 (a) هذا الرسم البياني، وهو عبارة عن خط مستقيم. تم العثور على الرسم البياني المقابل للتسارع مقابل الوقت من منحنى السرعة ويظهر في الشكل 3.15 (b). في هذا المثال، دالة السرعة هي خط مستقيم بميل ثابت، وبالتالي فإن التسارع ثابت.

في المثال التالي، دالة السرعة لها اعتماد وظيفي أكثر تعقيدًا على الوقت.

الشكل 3.15 (a, b): الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت هو رسم خطي وله ميل ثابت سالب (شكل a) أو يساوي التسارع، كما هو موضح في (شكل b).

إذا عرفنا الشكل الوظيفي أو دالة السرعة، v(t)، فيمكننا حساب التسارع أو العجلة اللحظية a(t) في أي نقطة زمنية أثناء الحركة باستخدام المعادلة 3.9.