التصنيفات
موسوعة الرياضيات والإحصاء موسوعة العلوم المالية والإدارية

الرياضيات المالية – الفائدة البسيطة والمركبة وقوانينها

المحتويات إخفاء

الفائدة البسيطة

تعريف الفائدة البسيطة

يمكن تعريف الفائدة البسيطة بأنها العائد الذي يحصل عليه المستثمر نتيجة استخدام أمواله خلال مدة زمنية معينة، فإذا أودع شخص مبلغاً من المال في أحد البنوك لمدة معينة وبمعدل فائدة متفق عليه، فإنه يحصل من البنك في نهاية مدة الاستثمار على المبلغ الذي أودعه بالإضافة إلى الفائدة المستحقة له من استثمار هذا المبلغ لدى البنك.

كذلك فإن الفائدة هي الأجر الذي يدفعه المدين إلى دائنة نتيجة استخدامه أموال دائنة في نهاية مدة زمنية معينة، فإذا اقترض شخص مبلغاُ من المال من أحد البنوك لمدة معينة وبمعدل فائدة مُتفق عليه، فانه يدفع إلى البنك في نهاية مدة القرض المبلغ الذي اقترضه بالإضافة إلى الفائدة المُستحقة عليه من اقتراض هذا المبلغ من البنك.

وبالتالي يمكن القول بأن قيمة الفائدة المستحقة عن استثمار مبلغ ما تتوقف على العوامل التالية:

  1. المبلغ أو الأصل المستثمر، ويُرمز له بالرمز (م)
  2. معدل الفائدة ويُرمز له بالرمز (ع)
  3. مدة الاستثمار ويُرمز له بالرمز (ن)
  4. مقدار الفائدة البسيطة وُيرمز لها بالرمز (ف)

ويتم حساب الفائدة البسيطة فى العمليات المالية قصيرة الأجل والتي تكون فيها مدة الاستثمار غالباً اقل من سنتين.

وسوف يتم شرح كيفية إيجاد كل من الفائدة البسيطة، الجملة، الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة بالتفصيل.

حساب الفائدة البسيطة

يمكن حساب مقدار الفائدة المستحقة على مبلغ ما ولمدة زمنية معينة ولمعدل متفق عليه من خلال استخدام الصيغة التالية:

الفائدة = أصل المبلغ × معدل الفائدة × المدة

ف = م × ع × ن

والصيغة السابقة تتضمن أربع متغيرات، ويمكن إيجاد أحد هذه المتغيرات بمعلومية المتغيرات الثلاثة الأخرى، أي أن:

م = ف ÷ (ع × ن)

ع = ف ÷ (م × ن)

ن = ف ÷ (م × ع)

ملاحظات عند حساب الفائدة البسيطة

يجب أن تتفق وحدات قياس المدة مع معدل الاستثمار عند حساب الفائدة. لذلك يجب أن نتذكر أن:

المعدل غالباُ يكون سنوياً، وإذا كان معدل الفائدة غير سنوي يُفضّل تحويله إلى معدل فائدة سنوي، ويتم التعبير عن المعدل فى صورة نسبة مئوية أو على صورة كسر عشري، كما يلي:

معدل الفائدة 12% سنوياً = 0.12 سنوياً.

المدة غالباً تكون بالسنوات، لذلك إذا كانت المدة بالشهور فإنه يجب أولاً تحويلها إلى السنوات، فإذا كانت المدة مُعطاة بالشهور يتم تحويلها إلى سنوات بالقسمة على العدد 12، أما إذا كانت المدة بالأيام يتم تحويلها إلى سنوات بالقسمة على 360 فى حالة الفائدة التجارية أو بالقسمة على 365 فى حالة الفائدة الصحيحة.

السنة البسيطة هي السنة التي يكون فيها شهر فبراير 28 يوماُ وتكون السنة بسيطة فى حالة إذا تم قسمة السنة على 4 ووُجد أن حاصل القسمة فيه باقي، مثلاً، سنة 1990 إذا قُسمت على 4 فإنه يكون هناك باقي، وبالتالي فهي سنة بسيطة، وبذلك فإنه يتم التحويل إلى سنوات بالقسمة على 365 في حالة الفائدة الصحيحة. والسنة الكبيسة هي التي يكون فيها شهر فبراير 29 يوما وتكون السنة كبيسة فى حالة إذا تم قسمة السنة على 4 ووُجد أنها تقبل القسمة على 4 بدون باقي، مثلاً: سنة 1992 إذا قُسمت على 4 ينتج 498 بدون باقي، أي أنها سنة كبيسة وبذلك فإنه يتم التحويل إلى سنوات بالقسمة على 366 في حالة الفائدة الصحيحة.

الجمع بين السنة البسيطة والكبيسة

إذا كانت مدة الاستثمار تقع بين سنتين إحداهما بسيطة والأخرى كبيسة فان المدة في هذه الحالة تُحول إلى سنوات حيث يتم قسمة عدد أيام الاستثمار فى السنة البسيطة على 365 ويتم قسمة عدد أيام الاستثمار فى السنة الكبيسة على 366.

وبالتالي فإذا كانت المدة بالشهور، فإن:

ن = عدد الشهور ÷ 12

وإذا كانت المدة بالأيام، فإن:

ن = عدد الأيام ÷ 360 (في حالة الفائدة التجارية)

ن = عدد الأيام ÷ 365 (في حالة الفائدة الصحيحة والسنة بسيطة)

ن = عدد الأيام ÷ 366 (في حالة الفائدة الصحيحة والسنة كبيسة)

أمثلة على الفائدة البسيطة

مثال 1

أودع شخص مبلغ 5000 جنيه في أحد البنوك لمدة سنة وأربعة أشهر، وبمعدل فائدة بسيطة 12% سنوياً، أوجد مقدار الفوائد المستحقة في نهاية المدة؟

الحل

المدة بالشهور = 12 + 4 = 16 شهر

الفائدة ف = المبلغ م × معدل الفائدة ع × المدة بالسنوات ن

إذن:

الفائدة = 5000 × (12 / 100) × (16/12)

الفائدة = 800 جنيه

مثال 2

أودع شخص مبلغ 5000 جنيه في أحد البنوك لمدة 8 شهور، فوجد أن الفوائد المستحقة له بنهاية المدة هي 400 جنيه، فما هو معدل الفائدة السنوي الذي تم استخدامه؟

الحل

الفائدة ف = المبلغ م × معدل الفائدة ع × المدة بالسنوات ن

إذن:

معدل الفائدة ع = الفائدة ف ÷ (المبلغ م × المدة بالسنوات ن)

أي أن:

معدل الفائدة ع = 400 ÷ (5000 × 8/12)

معدل الفائدة ع = 12%

مثال 3

أودع شخص مبلغ 4000 جنيه في أحد البنوك بمعدل فائدة سنوي 9.5% ولمدة معينة ن، فوجد أن الفوائد المستحقة له بنهاية هذه المدة هي 285 جنيه، فما هي مدة الاستثمار؟

الحل

الفائدة ف = المبلغ م × معدل الفائدة ع × المدة بالسنوات ن

إذن:

المدة بالسنوات ن = الفائدة ف ÷ (المبلغ م × معدل الفائدة ع)

أي أن:

المدة بالسنوات ن = 285 ÷ (4000 × 9.5/100)

المدة بالسنوات ن = 3/4 سنة = 9 شهور

جملة مبلغ بفائدة بسيطة

الجملة ھى عبارة عن أصل المبلغ المُستثمر مضافاً إليه الفوائد المستحقة. ويُرمز لها بالرمز (ج).

ويتم حساب الجملة باستخدام المعادلة التالية:

الجملة = أصل المبلغ المُستثمر + الفائدة المستحقة

أي أن:

ج = م + ف

وبما أن:

ف = م × ع × ن

إذن، بالتعويض عن قيمة ف ينتح أن:

ج = م + (م × ع × ن)

أي أن:

ج = م × (1 + ع × ن)

وتُستخدم المعادلة السابقة فى إيجاد الجملة، كما يمكن من خلالها إيجاد أصل المبلغ (م) كما يلي:

م = ج ÷ (1 + ع × ن)

الفائدة التجارية

إن الفائدة التجارية هي التي تعتبر أن عدد أيام السنة 360 يوماً، ويُرمز لها بالرمز فت ، كما أن الفائدة التجارية هي التي جرى العُرف على استخدامها فى المعاملات المالية.

الفائدة الصحيحة

الفائدة الصحيحة هي التي يكون فيها عدد أيام السنة = 365 يوماً إذا كانت السنة بسيطة، حيث يكون شهر فبراير فيها 28 يوماً. أو أن يكون فيها عدد أيام السنة = 366 يوماً إذا كانت السنة كبيسة حيث يكون شهر فبراير فيها 29 يوماً. ويُرمز للفائدة الصحيحة بالرمز فص.

وبالتالي يوجد فرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة إذا كانت مدة الاستثمار محسوبة بالشهور أو بالسنوات.

فإذا كانت المدة محسوبة بالأيام (ي)، فإنه يمكن حساب الفائدتين التجارية والصحيحة باستخدام المعادلتين التاليتين:

ف ت = م × ع × (ي ÷ 360)

ف ص = م × ع × (ي ÷ 365)

ونظراً لأن المقام في معادلة حساب الفائدة التجارية أقل من المقام في معادلة حساب الفائدة الصحيحة، نستنتج من ذلك بأن الفائدة التجارية أكبر من الفائدة الصحيحة، أي أن:

ف ت > ف ص

العلاقة بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة

يمكن استنتاج العلاقة بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة كما يلي:

ف ت = م × ع × (ي ÷ 360)

ف ص = م × ع × (ي ÷ 365)

بقسمة طرفي المعادلتين، ينتج أن:

ف ت / ف ص =(م × ع × (ي ÷ 360)) ÷ (م × ع × (ي ÷ 365))

وبتبسيط البسط والمقام في الطرف الأيسر، ينتج أن:

ف ت = (73 ÷ 72) × ف ص

وتُستخدم هذه العلاقة لإيجاد الفائدة التجارية إذا كانت الفائدة البسيطة معلومة لدينا.

والعكس صحيح، حيث يمكن استنتاج أن:

ف ص = (72 ÷ 73) × ف ت

وتُستخدم هذه العلاقة لإيجاد الفائدة الصحيحة إذا كانت الفائدة التجارية هي المعلومة لدينا.

الفرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة

يمكن استنتاج الفرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة، وذلك من خلال المعادلتين المستخدمتين في حسابهما كما يلي:

ف ت = (73 ÷ 72) × ف ص

ف ص = (72 ÷ 73) × ف ت

بطرح المعادلتين والتعويض عن قيمة فص، ينتج أن:

ف ت – ف ص = (1÷72) × ف ص

أو:

ف ت – ف ص = (1÷73) × ف ت

حساب المدة بين تاريخين

يستلزم الأمر فى العديد من تطبيقات الفائدة البسيطة وخاصة عمليات البنوك ومنها عمليات الإيداع والسحب التي نحتاج فيها إلى حساب المدة التي تقع بين تاريخين.

فإذا افترضنا أن شخصاً له حساب جاري في أحد البنوك، وقام هذا الشخص بإيداع مبلغ ما فى البنك في تاريخ معين، فإن هذا التاريخ يُسمى تاريخ الإيداع، وإذا قام بالسحب من البنك فى تاريخ معين فإن هذا التاريخ يُسمى تاريخ السحب. ولحساب الفوائد المُستحقة لهذا الشخص فإنه يلزم حساب المدة بين تاريخ الإيداع وتاريخ السحب. والمدة تُحسب بعدد الأيام التي تقع بين هذين التاريخين.

كما أن حساب المدة بين تاريخين يمكن أن يتم بأحد الطريقتين التاليتين:

  1. المدة المقربة
  2. المدة الفعلية

المدة المقربة

تُحسب المدة المقربة على أساس عدد الأيام لكل شهر من السنة باعتبارها 30 يوماً، وبالتالي فإن السنة 12 شهراً يكون فيها (30×12) = 360 يوماً.

ولحساب المدة يتم طرح تاريخ الإيداع من تاريخ السحب، فإذا كان المطروح أكبر من المطروح منه فيتم استعارة واحد من الخانة التالية، فإذا تمت الاستعارة من خانة الشهور فيتم إضافة 30 يوماً إلى عدد الأيام الموجودة في خانة المطروح منه. أما إذا تمت الاستعارة من خانة السنوات فيتم إضاف 12 شهراً إلى عدد الشهور الموجودة في خانة المطروح منه.

المدة الفعلية

تُحسب المدة الفعلية على أساس عدد الأيام الفعلية لشهور السنة الميلادية.

ويُلاحظ أنه يوجد عدد 7 أشهر في السنة الميلادية تحتوي كل منها على 31 يوماً، وهي (يناير، مارس، مايو، يوليو، أغسطس، أكتوبر، ديسمبر). كما أنه يوجد 4 أشهر في السنة الميلادية تحتوي كل منها على 30 يوماً، وهي (إبريل، يونيو، سبتمبر، نوفمبر)، هذا بالإضافة لشهر فبراير الذي قد يكون 28 يوماً في حالة السنة البسيطة أو 29 يوماً في حالة السنة الكبيسة.

كما يُلاحظ أنه عند حساب المدة بين تاريخين نقوم بإهمال يوم الإيداع أو يوم السحب، وقد جرت العادة على إهمال يوم الإيداع.

وتتم عملية حساب المدة الفعلية بين تاريخين وفقاً للخطوات التالية:

  1. نحسب عدد الأيام المتبقية من الشهر الذي تم فيه الإيداع، وذلك بطرح يوم الإيداع من عدد الأيام الفعلية للشهر الذي تم فيه الإيداع.
  2. يُضاف إلى المدة السابقة جميع الأيام الفعلية في الشهور التي تقع بين شهري الإيداع والسحب.
  3. يُضاف عدد الأيام في الشهر الذي تم فيه السحب، بما فى ذلك يوم السحب نفسه.

ملاحظات على حساب المدة

  1. إذا استلزم الأمر حساب المدة بين تاريخ الإيداع وتاريخ السحب، ولم يُذكر فيما إذا كانت المدة مدة مقرّبة أو فعليّة، ففي هذه الحالة يتم حساب المدة على أنها فعليّة.
  2. إذا كان المطلوب حساب الفائدة والمدة بالأيام ولم يُذكر نوع الفائدة هل هي فائدة تجارية أم صحيحة، ففي هذه الحالة يتم حساب الفائدة التجارية.
  3. إذا كانت المدة بالأيام ولم تُحدد السنة، فتُعتبر السنة بسيطة وبالتالي يكون عدد أيام السنة 365 يوماً، وبذلك يكون شهر فبراير 28 يوماً.
  4. إذا كان الإيداع في أول شهر معين والسحب فى أول شهر آخر، فإن المدة في هذه الحالة يتم حسابها بالشهور وليس بالأيام، مثلاً: إذا كان الإيداع قد تم فى أول شهر مايو لعام 2000 والسحب في أول شهر أكتوبر من نفس العام فإن المدة ن = 5 شهور.
  5. إذا كان الإيداع في منتصف شهر معين والسحب في منتصف شهر آخر، فإن المدة في هذه الحالة يتم حسابها بالشهور وليس بالأيام. مثلاً: إذا كان الإيداع قد تم في منتصف شهر مايو لعام 2000 والسحب في منتصف شهر أكتوبر من نفس العام فإن المدة ن = 5 شهور.
  6. إذا كان يوم الإيداع يُطابق يوم السحب، فإن المدة في هذه الحالة يتم حسابها بالشهور وليس بالأيام. مثلاً: إذا كان الإيداع قد تم في 22 مايو، 2000، والسحب في 22 أكتوبر 2000، فإن المدة ن = 5 شهور.

الدفعات المتساوية قصيرة الأجل

الدفعات المتساوية هي مبالغ متساوية يتم دفعها بصورة مُنتظمة وعلى فترات زمنية متساوية.

وتنقسم الدفعات المتساوية إلى نوعين من الدفعات هما الدفعات العادية والدفعات غير العادي.

الدفعات العادية

الدفعات العادية والتي تُسمى دفعات السداد، هي الدفعات التي يتم دفعها آخر كل فترة زمنية.

فقد تُدفع آخر كل شهر أو آخر كل شهرين أو آخر كل 3 شهور أو آخر أي مدة زمنية أخرى.

الدفعات غير العادية

الدفعات غير العادية والتي تُسمى الدفعات الفورية أو دفعات الاستثمار، هي الدفعات التي يتم دفعها أول كل فترة زمنية.

فقد تُدفع أول كل شهر أو أول كل شهرين أو أول كل 3 شهور أو أول أي مدة زمنية أخرى.

حساب إجمالي الفائدة وجملة الدفعات المتساوية

إذا افترضنا أننا أردنا حساب فوائد وجملة دفعة متساوية فإن قيمة الفوائد المستحقة عن استخدام استثمار مبالغ الدفعات تتوقف على ما يلي:

  • مبلغ الدفعة ويُرمز له (م)
  • عدد الدفعات ويُرمز له بالرمز (د)
  • معدل الفائدة ويُرمز له بالرمز (ع)
  • جملة الدفعات ويُرمز لها بالرمز (جـ)

يمكن إيجاد جملة الدفعات باستخدام القانون التالي:

جملة الدفعات = مجموع مبالغ الدفعات + مجموع فوائدها

أي أن:

جـ = (مبلغ الدفعة × عدد الدفعات) + (مبلغ الدفعة × معدل الفائدة × مجموع مدد الدفعات)

جـ = (م × د) + (م × ع × مجموع مدد الدفعات)

ولكن من قانون حساب مجموع المتتالية الحسابية نستنتج أن:

مجموع مدد الدفعات = (عدد الدفعات ÷ 2) × (مدة الدفعة الأولى + مدة الدفعة الأخيرة)

خصم الديون قصيرة الأجل

عندما يقوم الدائن بتقديم الأوراق التجارية، مثل الكمبيالات والسندات الإذنية، إلى البنك للحصول على قيمتها نقداً قبل ميعاد استحقاقها، فإن البنك يقوم بخصم مبلغ معين نظير دفع قيمة هذه الأوراق قبل ميعادها، تُسمى هذه العملية خصم الديون أو قطعها.

وبناءً على ذلك فإن المقصود بخصم الديون هو سداد الديون قبل ميعاد استحقاقها.

وهناك نوعين من أنواع خصم الديون قصيرة الأجل وهما:

  1. الخصم التجاري
  2. الخصم الصحيح

أولاً: الخصم التجاري

الخصم التجاري هو فائدة القيمة الاسمية (جـ)، ويُرمز له بالرمز خت ، ويمكن إيجاد قيمته باستخدام المعادلة التالية:

خ ت = جـ × ع × ن

حيث أن:

خ ت = الخصم التجاري

جـ = القيمة الاسمية

ع = معدل الخصم

ن = مدة الخصم أو القطع

ويُرمز إلى القيمة الحالية التجارية بالرمز ح ت ، ويتم حساب القيمة الحالية التجارية باستخدام المعادلة التالية:

القيمة الحالية التجارية = القيمة الاسمية – الخصم التجاري

أو:

ح ت = جـ – خ ت

أي أن:

ح ت = جـ – جـ × ع × ن

أو:

القيمة الحالية التجارية ح ت = جـ × (1 – ع × ن)

ثانياً: الخصم الصحيح

الخصم الصحيح هو فائدة القيمة الحالية الصحيحة ح ص.

ويُلاحظ أنه لو استثمرنا القيمة الحالية الصحيحة طوال مدة الخصم أو القطع (وهي المدة من تاريخ التسوية أو تاريخ تقديم الأوراق التجارية للقطع حتى تاريخ الاستحقاق) وبمعدل خصم متفق عليه فإن جملتها تُصبح مساوية للقيمة الاسمية جـ.

كما يمكن إيجاد القيمة الحالية الصحيحة كما يلي:

الجملة جـ = ح ص × (1 + ع × ن)

ومنها يكون:

ح ص = جـ ÷ (1 + ع × ن)

حيث أن:

ح ص = القيمة الحالية الصحيحة

جـ = القيمة الاسمية

ع = معدل الخصم

ن = مدة الخصم أو القطع

ويُرمز إلى الخصم الصحيح بالرمز خ ص ، ويتم حساب الخصم الصحيح باستخدام المعادلة التالية:

الخصم الصحيح = القيمة الاسمية – القيمة الحالية الصحيحة

أي أن:

خ ص = جـ – ح ص

وبالتالي يكون:

الخصم الصحيح خ ص = جـ – ح ص

بالتعويض عن قيمة ح ص

الخصم الصحيح خ ص = جـ – جـ ÷ (1 + ع × ن)

الخصم الصحيح خ ص = جـ (1 – 1 ÷ (1 + ع × ن))

الخصم الصحيح خ ص = جـ × (ع × ن ) ÷ (1 + ع × ن)

أي أن:

الخصم الصحيح خ ص = ح ص × ع × ن

العلاقة بين الخصم التجاري والخصم الصحيح

حيث أن معادلتي حساب الخصم التجاري والخص الصحيح هما كما يلي:

خ ت = جـ × ع × ن

خ ص = ح ص × ع × ن

بقسمة المعادلتين، ينتج أن:

خ ت ÷ خ ص = (جـ × ع × ن) ÷ (ح ص × ع × ن)

أي أن:

خ ت ÷ خ ص = جـ ÷ ح ص = القيمة الاسمية ÷ القيمة الحالية الصحيحة

بالتعويض عن قيمة ح ص = جـ ÷ (1 + ع × ن)

ينتج أن:

خ ت ÷ خ ص = جـ ÷ (جـ ÷ (1 + ع × ن))

أي أن:

خ ت ÷ خ ص = 1 + ع × ن

ومن ثم يمكن من هذه المعادلة حساب الخصم التجاري بمعلومية الخصم الصحيح ومعدل الفائدة والمدة، حيث يكون:

خ ت = خ ص × (1 + ع × ن)

كما يمكن حساب الخصم الصحيح بمعلومية الخصم التجاري ومعدل الفائدة والمدة، حيث يكون:

خ ص = خ ت ÷ (1 + ع × ن)

الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح

خ ت – خ ص = فائدة القيمة الاسمية – فائدة القيمة الحالية الصحيحة

خ ت – خ ص = جـ × ع × ن – ح ص × ع × ن

خ ت – خ ص = ع × ن × (جـ – ح ص)

ولكن الخصم الصحيح خ ص = جـ – ح ص

إذن، بالتعويض عنه، فيكون:

الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح = خ ص × ع × ن

أي أن الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح هو فائدة الخصم الصحيح.

كما يمكن اشتقاق معادلات أخرى لحساب الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح كما يلي:

خ ت – خ ص = خ ت – خ ت ÷ (1 + ع × ن)

خ ت – خ ص = خ ت × (1 – 1 ÷ (1 + ع × ن))

خ ت – خ ص = خ ت × (1 – 1 ÷ (1 + ع × ن))

خ ت – خ ص = خ ت × ((1 + ع × ن + 1 ) ÷ (1 + ع × ن))

خ ت – خ ص = خ ت × (ع × ن) ÷ (1 + ع × ن)

ولكن لدينا:

خ ت = جـ × ع × ن

بالتعويض عن قيمة خ ت ، ينتج أن:

خ ت – خ ص = جـ × ع × ن × (ع × ن) ÷ (1 + ع × ن)

أي أن:

الفرق بين الخصم التجاري والخصم الصحيح يساوي:

خ ت – خ ص = جـ × ع2 × ن2 ÷ (1 + ع × ن)

الأجيو في الفائدة البسيطة

إذا قدم الدائن كمبيالة أو سند إذني إلى أحد البنوك للحصول عل قيمتها نقداً قبل ميعاد استحقاقها، فإن البنك يحل محل الدائن في الحصول على القيمة الاسمية للورقة التجارية من المدين فى تاريخ استحقاقها، وذلك في نظير أن يقوم بخصم مبلغ معين من الدائن مقابل دفع قيمة هذه الورقة قبل ميعاد استحقاقها، هذا بالإضافة إلى الحصول على عمولة معينة متفق عليها من القيمة الاسمية، وتُسمى عمولة البنك، وكذلك مصروفات تحصيل على القيمة الاسمية للورقة التجارية. ولا تدخل المدة أو معدل الخصم في الاعتبار.

جدير بالذكر بأن قيمة كل من عمولة البنك ومصاريف التحصيل تُحسب كنسبة مئوية من القيمة الاسمية للورقة التجارية، وبناءً على ذلك فإن مصاريف الخصم أو الأجيو تتكون من الخصم التجاري وعمولة البنك ومصاريف التحصيل.

من هذا التعريف، يمكن حساب القيم التالية:

الأجيو = الخصم التجاري + عمولة البنك + مصاريف التحصيل

صافي القطع أو صافي قيمة الورقة التجارية = القيمة الاسمية – الأجيو

معدل الخصم الإجمالي السنوي = الأجيو ÷ (القيمة الاسمية × المدة)

تسوية الديون قصيرة الأجل

تسوية الديون قصيرة الأجل يُقصد بها اتفاق المدين مع الدائن على استبدال الديون القديمة بديون جديدة، وبالتالي فإن تسوية الديون قصيرة الأجل هي اتفاق كل من المدين والدائن على الطريقة التي يقوم المدين بموجبها باستبدال الديون القديمة الأصلية أو جزء منها بدين أو ديون أخرى جديدة بدلاً من سداد المدين للديون القديمة فى ميعاد استحقاقها.

والقاعدة العامة لتسوية الديون قصيرة الأجل هي استخدام معادلة القيمة التي تساوي بين قيمة الديون القديمة فى تاريخ محدد، يُسمى تاريخ التسوية، وبين قيمة الديون الجديدة في نفس التاريخ.

وبالتالي تكون القاعدة العامة كما يلي:

قيمة الديون القديمة في تاريخ التسوية = قيمة الديون الجديدة في تاريخ التسوية

وذلك وفقاً للشروط التالية:

  1. قيمة الدين تُحسب على أنها جملة مبلغ الدين إذا كان تاريخ التسوية بعد تاريخ استحقاق الدين الأصلي.
  2. قيمة الدين تُحسب على أنها القيمة الحالية لمبلغ الدين إذا كان تاريخ التسوية قبل تاريخ استحقاق الدين الأصلي.
  3. قيمة الدين تساوى نفس قيمة مبلغ الدين إذا كان تاريخ التسوية هو نفس تاريخ استحقاق الدين الأصلي.
  4. يجب أن تُحسب القيمة الحالية فى تاريخ التسوية على أساس الخصم التجاري ما لم يُنص على خلاف ذلك.

استهلاك القروض قصيرة الأجل

مع انتشار العمليات التجارية يلجأ الكثير من المستثمرين والشركات إلى الاقتراض من البنوك لتوفير السيولة اللازمة، ومع انتشار عمليات البيع بالتقسيط وما يتبعه من عملية سداد القروض، وهو ما يُسمى بعملية استهلاك القروض أو سداد القروض.

وتوجد طرق مختلفة لسداد القروض من أهمها ما يلي:

  1. سداد القرض وفوائده في نهاية المدة
  2. سداد القرض بأقساط متساوية من الأصل والفوائد معاً
  3. سداد القرض في نهاية المدة وسداد الفوائد بصورة دورية

أولاً: سداد القرض مع الفائدة في نهاية المدة

تُستخدم هذه الطريقة في حالة اتفاق المدين مع الدائن على أن يقوم المُقترض (وهو المدين) بسداد القرض وفوائده في نهاية مدة القرض مرة واحدة.

وفي هذه الحالة فإن المدين يسدد للدائن جملة القرض، أي يسدد مبلغ القرض مضافاً إليه الفوائد المستحقة.

وتُستخدم في هذه الحالة المعادلة التالية:

جملة القرض = القرض + الفائدة المستحقة

أو:

جـ = م + ف

بما أنه لدينا:

ف = م × ع × ن

إذن يكون:

جـ = م + م × ع × ن

أي أن:

جـ = م × (1+ع × ن)

أي أن:

جملة القرض = القرض × (1 + ع × ن)

ثانياً: سداد القرض بأقساط متساوية من الأصل والفوائد معاً

في هذه الطريقة يقوم المدين بسداد أصل القرض وفوائده على أقساط متساوية في نهاية كل فترة زمنية، قد تكون في نهاية كل شهر أو في نهاية كل شهرين أو في نهاية كل ثلاثة أشهر أو على حسب المُتفق عليه بين المدين والدائن.

وبصفة عامة، فإن القسط المتساوي يشتمل على جزء من الأصل، والذي يُعرف بالاستهلاك، والجزء الآخر من الفوائد المستحقة على الرصيد المتبقي من الأصل.

وفي جميع الأحوال يُمثل القسط المتساوي دفعة عادية متساوية، بحيث تكون جملة الأقساط المُسددة مساوية لجملة القرض.

ويمكن إيجاد القسط المتساوي بتطبيق المعادلة التالية:

جملة القرض = جملة الأقساط

بالتعويض عن معادلة حساب كل من جملة القرض وجملة الأقساط بكل مما يلي:

جملة القرض = القرض × (1 + ع × ن)

جملة الدفعات أو الأقساط = مجموع مبالغ الأقساط + مجموع فوائدها

أي أن:

جـ = مبلغ القسط × عدد الأقساط + مبلغ القسط × معدل الفائدة × مجموع مدد الأقساط

وبالتالي فإنه يكون لدينا:

م × (1 + ع × ن) = س × عدد الأقساط + س × ع × مجموع مدد الأقساط

حيث:

م = مبلغ القرض

س = مبلغ القسط

وحيث أنه يتم حساب مجموع مدد الأقساط بنفس طريقة حساب مجموع الاستثمار السابق الإشارة إليه في القسم الخاص بالدفعات المتساوية، وهي طريقة حساب مجموع المتتالية الحسابية، وبالتالي يكون لدينا:

مجموع مدد الأقساط = (عدد الأقساط ÷ 2) × (مدة القسط الأول + مدة القسط الأخير)

جدول الاستهلاك

جدول الاستهلاك هو جدول حساب له جانبين، يُقيد في الجانب الأيمن منه (المدين) مبلغ القرض مضافاً إليه الفوائد المستحقة عليه عن مدة القرض كلها، وفي الجانب الأيسر منه (الدائن) فيُقيد فيه الأقساط المتساوية مضافاً إليها الفائدة المستحقة على كل قسط على حدة.

ثالثاً: سداد القرض في نهاية المدة وسداد الفوائد بصورة دورية

تُستخدم هذه الطريقة في حالة اتفاق المدين مع الدائن على أن يقوم المدين بسداد القرض في نهاية المدة، ويسدد الفوائد على فترات زمنية متساوية قد تكون آخر كل شهر أو كل شهرين أو كل 3 شهور أو كل ستة شهور. والفائدة التي يدفعها المدين في نهاية كل فترة زمنية تُسمى بالفوائد الدورية.

من الناحية العملية، فإن هذه الطريقة تحقق فائدة للدائن حيث يكون بإمكانه إعادة استثمار الفوائد الدورية بمجرد الحصول عليها. هذا بالإضافة إلى تحمُّل المدين للفوائد التي يتأخر عن سدادها في مواعيدها بمعدل فائدة أعلى. كما أنها تحقق فائدة للمدين فبدلاً من دفع الفائدة المستحقة عليه مرة واحدة في نهاية مدة القرض تُدفع مجزأة خلال مدة القرض.

ويُستخدم الأسلوب التالي في حساب الفوائد الدورية، وإجمالي ما يُسدده المدين للدائن، وكذلك حساب إجمالي ما يحصل عليه الدائن من فوائد، هذا بالإضافة إلى حساب معدل الفائدة الإجمالي السنوي الذي يحققه الدائن من خلال الخطوات التالية:

  1. الفائدة الدورية الواحدة = مبلغ القرض × معدل الفائدة على القرض × الفترة الزمنية
  2. جملة فوائد التأخير = (الفائدة الدورية الواحدة × عدد فوائد التأخير) + (الفائدة الدورية × معدل فائدة التأخير × مجموع مدد التأخير)
  3. جملة فوائد الاستثمار = (الفائدة الدورية الواحدة × عدد فوائد الاستثمار) + (الفائدة الدورية × معدل فائدة الاستثمار × مجموع مدد الاستثمار)
  4. معدل الفائدة الإجمالي السنوي = مجموع الفوائد التي حصل عليها الدائن ÷ (القرض × المدة)

الفائدة المركبة

يعتبر المال أساس الحياة الاقتصادية وهو الأساس المنطقي والمتفق عليه للتبادل التجاري سواء كان سلعياً أو خدمياً، وكذلك فهو الأساس المقبول لتقدير قيم السلع والخدمات.

ويظهر استخدام الأموال المملوكة للأشخاص سواء كانوا طبيعيين أو اعتباريين في صورتين أساسيتين هما الاستهلاك والادخار.

الاستهلاك

يُعرف الاستهلاك بأنه استخدام الأموال المملوكة للأشخاص في إشباع الحاجات المختلفة لهم حسب سلم التفضيل الخاص بكل منهم، وذلك بالحصول على ما يحتاجونه من سلع وخدمات مختلفة من الغير مقابل التنازل عن هذه الأموال.

الادخار

يُعرف الادخار بأنه عدم استخدام الأموال المملوكة في الاستهلاك بل يتم الاحتفاظ بها لوقت الاحتياج إليها، والادخار غالباً ما يأخذ إحدى الصورتين التاليتين:

  1. الاكتناز: أي الاحتفاظ بالأموال المملوكة لدى الشخص المالك لها دون أي توظيف لها.
  2. الاستثمار: أي توظيف وتشغيل هذه الأموال في المجالات الاقتصادية المختلفة.

وحيث أننا نحيا في ظل اقتصاد متحرك فإن الصورة الثانية من أشكال الادخار تُعتبر وبحق أفضل صور الادخار لما تحققه من فائدة لكل من صاحب الأموال، الذي يُطلق عليه المستثمر وكذلك ما سوف يستفيده الغير من المتعاملين من تلك الأموال المستثمرة، وكذلك ما يمثله من قيمة مضافة للناتج القومي طالما أحسن المستثمر توظيف أمواله.

تعريف الفائدة المركبة

الفائدة المركبة هي العائد على رأس المال المستثمر الذي يتم حسابه في نهاية مدة الاستثمار، ويتم حساب هذا العائد في نهاية كل فترة زمنية على أساس أصل المبلغ المستثمر مضافاً إليه الفوائد المحققة في الفترات الزمنية السابقة.

ومن هذا التعريف نستنتج أن:

  1. الفائدة المركبة هي ثمن تشغيل رأس المال كعامل من عوامل الإنتاج.
  2. الفائدة المركبة تُحسب على أساس المبلغ الأصلي المستثمر بالإضافة للفوائد التي تم حسابها عن الفترات السابقة.

ومن هذا التعريف نجد أن المبلغ الذي يُحسب على أساسه الفائدة المركبة في تزايد مستمر بقيمة الفوائد المحققة عن الفترات السابقة، وذلك بعكس الفائدة البسيطة التي تتسم بثبات المبلغ الذي يُحسب على أساسه الفائدة وهو أصل المبلغ المستثمر فقط.

بمعنى آخر، يمكن القول أن الفائدة المركبة هي التي يتم فيها الحصول على فائدة على المبلغ الأصلي والفائدة معاً، أي الحصول على فائدة على الفائدة.

ملاحظات للتمييز بين الفائدة البسيطة والمركبة

  • في حالة ما إذا كانت مدة الاستثمار فترة استثمارية واحدة، فإن أصل المبلـغ الذي سوف تُحسب على أساسه الفائدة، سواء كانت بسيطة أو مركبة، واحد في الحالتين حيث أنه يساوي أصل المبلغ المستثمر حيث لم تتكون أي فوائد بعد في حالة الفائدة المركبة، فمع ثبات هذا الأصل وثبات المعدل المستخدم فـي حساب الفائدة فإن الفائدة البسيطة = الفائدة المركبة.
  • في حالة إذا كانت مدة الاستثمار أكبر من فترة استثمارية واحدة، حتى ولو بكسر فترة زمنية، فمع ثبات العوامل الأخرى المؤثرة في حساب الفائدة، فإن الفائدة المركبة المحسوبة تكون أكبر من الفائدة البسيطة المحسوبة، وذلك لأن أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة المركبة يكون أكبر من أصـل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة البسيطة بقيمة الفوائد المحققة عـن الفترات السابقة.
  • الفائدة المركبة المستحقة عن مبلغ معين وبمعدل محدد تكون فـي زيادة مستمرة من فترة استثمارية لأخرى ودون توقف حيث أن أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة المركبة في زيادة مستمرة من فترة استثمارية لأخرى بقيمة الفوائد المحققة عن الفترات السابقة، في حين أن الفائدة البسيطة تكون ثابتة من فترة لأخرى في حالة ثبات العوامل المؤثرة في حسابها لثبات أصل المبلغ المحسوب على أساسه الفائدة البسيط. ولذا، فإن من وجهة نظر الاستثمار الكفؤ أن الفائدة المركبة يُفضل استخدامها في حالة الاستثمارات طويلة الأجل نسبياً والتي تتعدى فيهـا مـدة الاستثمار فترة استثمارية واحدة.

الرموز المُستخدمة

الرموز المستخدمة في المعادلات هي كما يلي:

أ = الأصل أو المبلغ المستثمر

جـ = جملة المبلغ المستثمر في نهاية مدة الاستثمار

ف = مجموع الفوائد المستحقة خلال مدة الاستثمار

ع = معدل الفائدة المركبة الحقيقي السنوي

ع’ = معدل الفائدة المركبة الحقيقي الغير سنوي

ع س = معدل الفائدة المركبة الاسمي السنوي

ن = المدة الكلية بالسنوات الصحيحة

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة

ت = عدد مرات إضافة الفائدة خلال المدة الكلية ن

الجملة والفائدة المركبة لمبلغ

بفرض أن أصل المبلغ المستثمر (أ) يُستثمر بمعدل فائدة مركبة حقيقي سنوي (ع) ولمدة (ن) من السنوات الصحيحة، حيث يتم حساب الفائدة في نهاية كل سنة من السنوات، فإنه يكون لدينا ما يلي:

ف1 = أ × ع × 1

حيث:

ف1 = فائدة السنة الأولى

أ = أصل المبلغ المستثمر

ع = معدل الفائدة الحقيقي السنوي

ن = مدة الاستثمار

أي أن:

ف1 = أ × ع

وبالتالي فإن:

الجملة في نهاية السنة الأولى = أصل المبلغ المستثمر + الفائدة المـستحقة عن السنة الأولى

أي أن:

حـ 1 = أ + أ × ع = أ × (1 + ع)

والآن لحساب فائدة السنة الثانية، يكون:

فائدة السنة الثانية = الجملة في نهاية السنة الأولى × معدل الفائدة الحقيقي السنوي × مدة الاستثمار (وهي هنا سنة جديدة أي أن المدة = 1 أيضاً).

أي أن:

ف 2 = أ × (1 + ع) × ع × 1 = أ × ع × (1 + ع)

ومن ثم تصبح الجملة في نهاية السنة الثانية كما يلي:

الجملة في نهاية السنة الثانية = الجملة في نهاية السنة الأولى + الفائدة المستحقة عن السنة الثانية

أي أن:

جـ 2 = أ × (1 + ع) + أ × ع × (1 + ع)

أي أن:

جـ 2 = أ × (1 + ع) 2

وبالمثل، يكون لدينا:

فائدة السنة الثالثة = الجملة في نهاية السنة الثانية × معدل الفائدة × المدة

أي أن:

ف 3 = أ × (1 + ع) 2 × ع × 1

أي أن:

ف 3 = أ × ع × (1 + ع) 3

ومن ثم تصبح الجملة في نهاية السنة الثالثة = الجملة في نهاية السنة الثانية + الفائدة المستحقة عن السنة الثالثة

أي أن:

جـ 3 = أ × (1 + ع) 2 + أ × ع × (1 + ع)

أي أن:

جـ 3 = أ × (1 + ع) 3

وهكذا، يمكن تعميم هذه القاعدة واستنتاج قانون حساب الجملة بفائدة مركبة كما يلي:

قانون حساب الجملة بفائدة المركبة

جـ ن = أ × (1 + ع) ن

حيث:

جـ ن = الجملة في نهاية مدة الاستثمار الكلية

أ = أصل المبلغ المستثمر

ع = معدل الفائدة المركبة الحقيقي السنوي

ن = مدة الاستثمار الكلية بالسنوات الصحيحة

وللحصول على قيمة الفائدة المركبة الكلية المستحقة خلال المدة الكلية (ن) فإنه يمكن إيجادها كما يلي:

الفائدة المركبة الكلية المُستحقة خلال المدة الكلية (ن) هي الفرق بين ما حصل عليه المستثمر في نهاية مدة الاستثمار وبين أصل المبلغ في بداية مدة الاستثمار.

أي أن:

ف = حـ – أ

ف = أ × (1 + ع) ن –  أ

ومنها يمكن استنتاج قانون حساب الفائدة المركبة الكلية:

قانون حساب الفائدة المركبة الكلية

ف = أ × ((1 + ع) ن – 1)

العلاقة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

  1. لا تختلف الفائدة البسيطة عن الفائدة المركبة في السنة الأولى وكذلك الجملة.
  2. المبلغ الذي تُحسب عليه الفائدة البسيطة هو دائماً أصل المبلغ المودع، أما المبلغ الذي تُحسب عليه الفائدة المركبة فهو الرصيد المـستحق في نهاية السنة السابقة (أي جملة السنة السابقة).
  3. مع ثبات العوامل المؤثرة في حساب الفائدة، وفي حالة مدة إيـداع (استثمار) أو اقتراض أكبر من فترة واحدة فإن الفائدة المركبة تكون أكبر من الفائدة البسيطة، لأن أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة المركبة يكون أكبر من أصل المبلغ الذي تُحسب على أساسه الفائدة البسيطة بقيمة الفوائد المحققة عن الفترات السابقة.
  4. الرصيد المستحق في نهاية أي سنة = رصيد السنة السابقة + فائدة هذه السنة (في كل من الفائدة البسيطة والمركبة).
  5. الرصيد المستحق في نهاية المدة = أصل المبلغ + مجموع الفوائد (في كل من الفائدة البسيطة والفائدة المركبة.
  6. الفائدة البسيطة متساوية في جميع السنوات، وعليه يكون:
    • مجموع الفوائد لأي عدد من السنوات (ن) = فائدة السنة × ن
    • فائدة السنة = الفرق بين جملة المبالغ في أي سنين ÷ الفرق بين ترتيب السنين.
    • الفائدة المركبة تزداد في كل سنة بمقدار فائدة السنة السابقة، أي أن الفائدة في أي سنة = جملة فائدة السنة السابقة.
    • الفرق بين أي جملتين متتاليتين بنظام الفائدة المركبة يعتبر فائدة الجملـة الأولى منهما بنفس المعدل والمدة سنة، أي يساوي الفائدة البسيطة للجملة الأولى منهما.

يمكن الاستفادة من الملاحظات السابقة على الفائدة البسيطة والمركبة في الوصول إلى عدد من العلاقات بينهما، نذكر منها ما يلي:

العلاقة الأولى:

معدل الفائدة = الفرق بين أي فائدتين مركبتين (متتاليتين) ÷ الفائدة الأولى منها × 100

أي أن:

ع = (ف 2 – ف 1) ÷ ف 1 × 100

العلاقة الثانية:

المبلغ = (ف 1 × ف 1) ÷ (ف 2 – ف 1)

حيث ف 1 و ف 2 الفائدتين الأولى والثانية بنظام معدل الفائدة المركبة.

طريقة إيجاد قيمة مُعامل الفائدة المركبة (1+ع) ن

يُلاحظ أنه في الفائدة المركبة ولحساب الجملة المركبة في نهاية الفترة الزمنية (ن) فإن المشكلة التي تقابلنا هي كيفية الحصول على قيمة معامل تجميع الفائدة المركبة وهو المعامل (1 + ع) ن

وتوجد عدة طرق لحساب معامل التجميع (1 + ع) ن نذكر منها ما يلي:

طريقة الضرب البسيط

وتصلح هذه الطريقة في حالة عندما تكون (ن) صغيرة، ولكنها لا تصلح إذا كانت (ن) كبيرة. كما أن هذه الطريقة مُعقدة، فضلاً عن أنها مضيعة للوقت وتعرضنا للأخطاء الحسابية، ومن ثم فلا ينبغي استخدامها.

طريقة اللوغاريتمات

يُمكن باستخدام اللوغاريتمات ذات الستة أو السبعة أرقام الحصول على نتائج دقيقة، وتحتاج هذه الطريقة إلى دراية باستخدام الدوال اللوغاريتمية.

والدالة اللوغاريتمية هي دالة عكسية للدالة الأسية، حيث يُعرف لوغاريتم أي عدد (س) بالنسبة للأساس (أ) بأنه الأس الذي يجب أن يُرفع له (أ) لينتج عنه (س).

وبالتالي فإنه إذا كان لدينا الدالة الأسية التالية:

أ ص = س

فإنه يكون التعبير عنها باستخدام الدوال اللوغاريتمية كما يلي:

لو س أ = ص

ويتم قرائتها كما يلي:

لوغاريتم (س) بالنسبة للأساس (أ) هو الأس (ص). أو: لوغاريتم (س) بالنسبة للأساس (أ) = ص

والتي تُكتب رياضياً كما يلي:

لو س أ = ص

ويجب أن يكون الأساس (أ) عدد حقيقي موجب لايساوي الصفر و(س) عدد موجب.

والآن بتطبيق هذا التعريف على معامل الفائدة المركبة (1 + ع) ن، نفرض أن:

ص = (1 + ع) ن

بأخذ اللوغاريتم لطرفي المعادلة:

لو ص = لو (1 + ع) ن

من قوانين اللوغاريتمات، نحصل على:

لو ص = ن × لو (1 + ع)

ويكون ص = العدد المقابل للناتج المحسوب بالآلة الحاسبة لقيمة لوغاريتم (1 + ع).

طريقة الجداول

طريقة الجداول هي الطريقة الشائعة الاستخدام في جميع المصارف والمؤسسات المالية، ويُعطي الجدول قيمة (1 + ع) ن لقيم ن ، ع المختلفة.

طريقة الاستكمال

وذلك حينما يتعذر وجود قيمة (ع) في الجدول لوقوعها بين قيمتين متتاليتين للفائدة.

طريقة الضرب المختصرة

وتستخدم هذه الطريقة إذا كانت (ن) خارج نطاق الجدول، وتقوم هذه الطريقة على أساس نظرية الأسس، حيث يتم استخدام القاعدة التالية من قواعد الأسس:

س أ + ب = س أ × س ب

قاعد الضرب: إذا تساوت الأساسات فعند الضرب تُجمع الأسس.

طريقة نظرية ذات الحدين

وتساعد هذه الطريقة في إيجاد مفكوك (1 + ع)ن ، حيث يكون:

( س + ص ) ن = مجـ (من ر = صفر إلى ن) (ن ق ر) × س ن – ر × ص ر

طريقة الجداول المالية

نظراً لطول آجال القروض في عمليات الفائدة المركبة فإنه يترتب عليها تعدد عمليات الضرب واحتمال الوقوع في خطأ فـي استخراج قيمة مُعامل التجميع (1+ع)ن، لذلك تم إعداد جداول يمكن منها إيجاد نواتج المقادير المختلفة التي يحتاجها كل من يعمل في مجال الشؤون المالية والتجارية، وسُميت هذه الجداول باسم “جداول الفائدة المركبة والدفعات”، وهي خمسة مقادير خُصص لكل منها جدول أُعطى رقماً مسلسلاً للتمييز بينها، وأول هذه المقادير هو (ع . ، 1)ن، وهو يمثل الجملة المركبة لوحدة النقود (الجنيه) بمعدل فائدة ع٪ ولفترة زمنية ن وقد خُصص لهذا المقدار العمود الثاني.

إيجاد الجملة المركبة باستخدام الجداول المالية (الجدول الأول)

العمود الثاني يُعطي الجملة المركبة للجنيه بالمعدلات من 1% إلى 16٪ ولوحدات زمن من 1 إلى 50 ورمزه الرياضي (ع . ، 1)ن، ورمزه الحسابي ج ن ع%.

وعلى ذلك فإن الجملة المركبة لمبلغ مقداره (أ) يُستثمر بمعدل فائدة مركبة ع٪ ولفترة زمنية ن يحسب كما يلي:

جـ ن = أ (ع . ، 1)ن = أ × ج ن × ع

أي أن الجملة المركبة للمبلغ = المبلغ × الجملة المركبة للجنيه

الجملة المركبة لمبلغ = المبلغ × العدد المُستخرج من العمود الثاني الذي يقع أسفل المعدل (ع٪) وأمام وحدات الزمن المعلومة (ن).

تعلية الفائدة المركبة أكثر من مرة خلال العام

قد يتفق المتعاقدان على تعلية أو إضافة الفائدة أكثر من مرة خلال العام الواحد، وفي هذه الحالة لا يُذكر المعدل عن سنة كاملة وإنما يُذكر عن جزء من السنة.

فمثلاً:

إذا كان المعدل 5٪ عن كل 6 شهور فإن الفائدة تُعلي مرتين فـي السنة (12 ÷ 6 = 2).

وإذا كان المعدل 5٪ عن كل 4 شهور فإن الفائدة تُعلى ثلاث مرات في السنة (12 ÷ 4 = 3).

وإذا كان المعدل 2٪ عن كل 3 شهور فإن الفائدة تُعلى أربع مرات في السنة، (12 ÷ 3 = 4).

ولا يختلف الحال عما سبق إلا في أننا نحوّل المدة إلى وحدات زمنية أو فترات تتفق مع معدل الفائدة المذكور، وذلك بضرب المدة بالسنوات في عدد مرات تعلية الفائدة في السنة.

أي أن:

عدد الفترات = المدة بالسنين × عدد مرات التعلية في السنة

إيجاد الجملة المركبة باستخدام الآلات الحاسبة

طريقة استخدام الآلة الحاسبة لحساب معامل التجميع (1 + ع) ن، تعتمد هذه الطريقة على إيجاد معامل التجميع (1 + ع) ن باستخدام الآلة الحاسبة مباشرة دون الحاجة لاستخدام الجداول المالية وذلـك عند أي قيمة لمعدل الفائدة ع ولأي قيمة للمدة (ن) سواء كانت صحيحة أو تحتوي على كسر وذلك عن طريق الضغط على رمز X Y مباشرة.

إيجاد الجملة إذا كانت المدة تحتوي على كسر

للحصول على قيمة (1 + ع) ن سواء كانت ن عدد صحيح موجب أو عدد صحيح وكسر أو كسر فقط، باستخدام الجداول المالية التي تُعطي جملة الجنيه بفائدة مركبة في نهاية أحد عشر شهراً وعشرة شهور وتسعة شهور وهكذا إلى أن يُعطي جملة الجنيه في نهاية شهر واحد.

ويُلاحظ أن وصف الكسور بهذه الصفة (شهر أو أكثر) يكون صحيحاً فقط في حالة معدل الفائدة السنوي، أما في حالة معدل الفائدة النصف سنوي مثلاً فإن كسر مثل (3/12) لا يعني ثلاثة شهور بل يعني رُبع أو (1/4) من وحدة الزمن النصف سنوية، وبالتالي فهو يعني ثُمن أو (1/8) من المعدل السنوي. أي أنه يجب التنبيه إلى طبيعة معدل الفائدة لأنها هي التي تحدد طبيعة الكسر.

كذلك يمكن الحصول على قيمة (1 + ع) ن إذا كانت (ن) تحتوي على كسر باستخدام الآلة الحاسبة أيضاً وذلك بتحويل الكسر الاعتيادي إلى كسر عشري وتسجيل قيمة (ن) بكاملها بما تتضمنه من كسر عشري.

حساب عوامل الفائدة المركبة

تتضمن معادلة حساب الجملة المركبة أربعة عوامل هي:

  • الجملة المركبة
  • أصل المبلغ المُستثمر
  • معدل الفائدة
  • المدة

ويمكننا إيجاد أي عامل من هذه العوامل بمعلوميـة العوامل الثلاث الأخرى وذلك باستخدام القوانين التالية:

قانون حساب أصل المبلغ المستثمر

حيث أن:

جـ = أ × (1 + ع) ن

فيكون:

أ = جـ ÷ (1 + ع) ن

قانون حساب المدة

حيث أن:

جـ = أ × (1 + ع) ن

أي أن:

(1 + ع) ن = جـ ÷ أ

بأخذ اللوغاريتم لطرفي المعادلة، فيكون:

لو (1 + ع) ن = لو (جـ ÷ أ)

من قوانين اللوغاريتمات يكون لدينا:

ن × لو (1 + ع) = لو جـ – لو أ

أي أن:

ن = (لو جـ – لو أ) ÷ لو (1 + ع)

قانون حساب معدل الفائدة

حيث أن:

جـ = أ × (1 + ع) ن

(1 + ع) ن = جـ ÷ أ

بالمثل، نأخذ اللوغاريتم لطرفي المعادلة، فيكون:

لو (1 + ع) ن = لو (جـ ÷ أ)

ومن قوانين اللوغاريتمات يكون:

ن × لو (1 + ع) = لو جـ – لو أ

لو (1 + ع) = (لو جـ – لو أ) ÷ ن

ويكون:

(1+ع) = العدد المقابل للوغاريتم المحسوب بالآلة الحاسبة.

معدل الفائدة الحقيقي ومعدل الفائدة الاسمي

معدل الفائدة الحقيقي

معدل الفائدة الحقيقي هو المعدل الذي مدته تتساوى مع مدة إضافة الفائدة، ويتم حساب الجملة المستحقة مباشرة باستخدام المعدل الحقيقي مع تغيير مدة الاستثمار لتصبح بالفترات الاستثمارية المساوية لمدة المعدل.

ويُرمز للمعدل الحقيقي السنوي بالرمز ع، مثلاً: المعدل 9٪ سنوياً والفوائد تضاف كل سنة.

يُلاحظ أن هذا المعدل حقيقي لأن مدة المعدل سنة ومدة إضافة الفائدة سنة، وبالتالي يتم حساب الجملة باعتبار أن مدد الاستثمار بنفس فترات إضافة الفائدة بالسنوات.

وقد يكون المعدل حقيقياً ولكنه غير سنوي، وفي هذه الحالة يُرمز له بالرمز (ع’)، فعلى سبيل المثال لو أن معدل الفائدة 8٪ نصف سنوي والفوائد تضاف مرتين في السنة، يُلاحظ أن هذا المعدل أيضاً حقيقي لأن مدته نصف سنة، ومدة إضافة الفائدة نصف سنوية، وبالتالي يمكن إيجاد الجملة المطلوبة باستخدام المعدل الحقيقي المعلوم ولكن بشرط تحويل المدة إلى فترات تابعة لمدة المعدل ويرمز لها بالرمز (ت) وفي حالة حساب الفائدة أكثر من مرة خلال السنة يرمز لعدد مرات حساب الفائدة خلال السنة بالرمز (ل).

ويتم تعديل مدة الاستثمار لتطابق مدة إضافة الفائدة وتُحسب فترات الاستثمار وفقاً لما يلي:

ت = ن × ل

حيث:

ت = المدة بالفترات تابعة للمعدل

ن = مدة الاستثمار بالسنوات

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة

معدل الفائدة الاسمي

معدل الفائدة الاسمي (أو سعر الفائدة الاسمي) هو المعدل الذي لا يتساوى مع مدة إضافة الفائدة، ولذا لا يمكن حساب الجملة باستخدامه ويرمز له بالرمز ع س، على سبيل المثال المعدلات التالية معدلات اسمية:

  1. معدل 12% سنوياً، والفوائد تُضاف كل 6 شهور، وهو معدل اسمي لأن مدة إضافة الفائدة نصف سنة، ومدة المعدل سنة.
  2. معدل 16٪سنوياً، والفوائد تُضاف 4 مرات في السنة، وهو معدل اسمي لأن مدة إضافة الفائدة ربع سنة، ومدة المعدل سنة.
  3. معدل 18٪نصف سنوي، والفوائد تضاف شهرياً، وهو معدل اسمي لأن مدة إضافة الفائدة شهرياً، ومدة المعدل كل 6 شهور.

وفي حالة ما إذا كان المعدل اسمياً يتم تحويله إلى معدل حقيقي، ثم تُعدل المدة لتطابق مدة إضافة الفائدة، ويكون:

ع = ع س ÷ ل

حيث:

ع = المعدل الحقيقي غير السنوي

ع س = المعدل الاسمي السنوي

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة

العلاقة بين معدل الفائدة الحقيقي ومعدل الفائدة الاسمي

ع = ( 1 + ع س ÷ ل ) ل – 1

حيث:

ع = المعدل الحقيقي السنوي

ع س = المعدل الاسمي السنوي

ل = عدد مرات إضافة الفائدة خلال السنة.

القيمة الحالية والخصم المركب لمبلغ

في المعاملات المالية، أي مبلغ لا يساوي قيمته إلا في تاريخ استحقاقه، فإذا تأخر استحقاق المبلغ، أي قام المدين بدفعه بعد تاريخ الاستحقاق، فإن ذلك يؤدي إلى زيادته بمقدار الفائدة، سواء كانت بسيطة أو مركبة.

وبالعكس، إذا قُدم ميعاد استحقاق الدين أو المبلغ، أي قام المدين بسداده قبل موعد استحقاقه، فإن ذلك يؤدي إلى تخفيض قيمته بمقدار يُسمى الخصم.

تسُمى القيمة المستحقة في نهاية المدة باسم القيمة الاسمية، ويُلاحظ أن القيمة الاسمية تُطابق تماماً الجملة، في حين يُطلق على القيمة المُستحقة الآن قبل تاريخ الاستحقاق اسم القيمة الحالية ويطلق على الفرق بين القيمتين الاسمية والحالية اسم الخصم المُستحق عن الفترة من تاريخ الخصم حتى تاريخ الاستحقاق.

وخصم الدين أو قطعه يعني سداد قيمته قبل حلول موعد استحقاقه، ويُسمى الخصم بفائدة مركبة بالخصم المركب وهو نوعان وهما:

  1. الخصم المركب التجاري
  2. الخصم المركب الصحيح

الخصم المركب التجاري

يُعرف الخصم المركب التجاري على أنه الفائدة المركبة للقيمة الاسمية للمدة المحصورة بين تاريخ السداد وتاريخ الاستحقاق، أي أن:

الخصم المركب التجاري = القيمة الاسمية × (ج ن % – 1)

أو:

خ ت = ق. س × (ج ن % – 1)

حيث أن:

خ ت = الخصم التجاري المركب

ق. س = القيمة الاسمية

ج ن % = (1 + ع) ن

القيمة الحالية التجارية = القيمة الاسمية – الخصم المركب التجاري

أو:

ق . ح . ت = ق. س – ق. س × (ج ن % – 1)

ق . ح . ت = ق. س × (2 – ج ن %)

ومن الواضح أنه إذا كانت ج ن ٪ أكبر من 2 فتكون القيمة الحالية التجارية سالبة، وهذا يعني أن الخصم أكبر من القيمة الاسمية، لذلك لا يُستخدم هذا النوع من الخصم في الحياة العملية.

الخصم المركب الصحيح

يُعرف الخصم المركب الصحيح بأنه الفائدة المركبة للقيمة الحالية الصحيحة للمدة المحصورة بين تاريخ سداد الدين وتاريخ استحقاقه.

أي أن:

الخصم المركب الصحيح = القيمة الحالية الصحيحة × (ج ن % – 1)

أو:

خ ص = ق. ح. ص × (ج ن % – 1)

القيمة الاسمية = القيمة الحالية الصحيحة + الخصم المركب الصحيح

أو:

ق. س = ق. ح. ص + خ ص

ق. س = ق. ح. ص + ق. ح. ص × (ج ن % – 1)

ق. س = ق. ح. ص × ( 1 + ج ن % – 1)

أي أن:

ق. س = ق. ح. ص × ج ن %

وحيث أننا لن نستخدم الخصم المركب التجاري ومن ثم القيمة الحالية التجارية، فإننا سنكتفي بذكر الخصم المركب ويكون مقصوداً به الخصم المركب الصحيح وسنكتفي بذكر القيمة الحالية ويكون المقصود بها القيمة الحالية الصحيحة.

وقد رأينا سابقاً أن القانون الأساسي لحساب الجملة بفائدة مركبة هو:

جـ ن = أ × ج ن ٪

فإذا اعتبرنا أن:

جـ ن = ق. س

أ = ق. ح

وفي هذه الحالة فإن القيمة الحالية لمبلغ يُستحق بعد ن فترة زمنية ويُستثمر بمعدل فائدة مركبة ع٪ يتم حسابها من معادلة الجملة كما يلي:

أ = جـ ن ÷ ج ن %

أو:

أ = جـ ن ÷ (1+ ع%) ن

ملاحظة

1 ÷ (1 + ع) ن يمثل القيمة الحالية للجنيه (أو وحدة العملة) الذي يُستحق بعد (ن) سنة من الآن بمعدل ع٪.

وإذا عوضنا عن هذا المقدار بالعلاقة التالية:

ح ن = 1 ÷ (1 + ع) ن = (1 + ع)

في هذه الحالة يمكن حساب القيمة الحالية الصحيحة من المعادلة الآتية:

ق. ح = ق. س × ح ن ٪

أو:

ق. ح = ق. س × (1 + ع)

ونحصل على قيمة ح ن ٪ المختلفة من العمود الثالث في جداول الفائدة المركبة للمعدلات من 1% إلى 16٪ وللمدد المختلفة من 1 إلى 50 وفي حالة المعدلات والمُدد غير الواردة بالجدول يمكن استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيمة الحالية وبالتالي الخصم المركب.

الخصم المركب

الخصم المركب = القيمة الاسمية – القيمة الحالية

أو:

خ = ق. س – ق. ح

وحيث أن:

ق. ح = ق. س × ح ن

خ = ق. س – ق. س × ح ن

خ = ق. س (1 – ح ن)

أما الخصم المطلوب هو الخصم عندما تكون القيمة الاسمية وحدة النقود التي تستحق بعد فترة زمنية واحدة، أي أن: ن = 1، والخصم في هذه الحالة يُطلق عليه معدل الخصم والذي يرمز له بالرمز ص.

القيمة الزمنية للنقود

الشكل التالي يوضح فكرة القيمة الزمنية للنقود، حيث يتم تغير قيمتها بحسب تغير المدة الزمنية، بحيث تظهر العلاقة بين معدل الفائدة والخصم والجملة لوحدة النقود:

الرياضيات المالية - الفائدة البسيطة والمركبة - شكل يوضح فكرة القيمة الزمنية للنقود
الرياضيات المالية – الفائدة البسيطة والمركبة – شكل يوضح فكرة القيمة الزمنية للنقود

العلاقة بين معدل الخصم المركب ومعدل الفائدة

حيث أن:

ص = 1 – ح

ص = 1 – (1 ÷ (1 + ع))

ص = ((1 + ع) – 1) ÷ (1 + ع)

أي أن:

ص = ع ÷ (1 + ع)

أي أن:

معدل الخصم = معدل الفائدة ÷ (1 + معدل الفائدة)

كما يمكن استنتاج أن:

ص = ع × (1 – ص)

ويكون:

ع = ص ÷ (1 – ص)

أي أن:

معدل الفائدة = الخصم ÷ (1 – الخصم)

إيجاد القيمة الحالية بمعدل خصم مركب

ص = 1 – ح

ح = 1 – ص

ح ن = (1 – ص) ن

وحيث أن:

ق. ح = ق. س × ح ن

بالتعويض عن ح ن، فيكون:

ق. ح = ق. س × (1 – ص) ن

أو:

القيمة الحالية = القيمة الاسمية × (1 – معدل الخصم المركب) ن

الدفعات المالية في الأجل الطويل بفائدة مركبة

تعريف الدفعات

الدفعات هي مجموعة من المبالغ التي تُدفع بصفة دورية منتظمة على فترات متساوية، أي أن الفاصل الزمني بين كل مبلغ والمبلغ الذي يليـه ثابت.

ويمكن تصنيف الدفعات حسب الأساس المستخدم في التصنيف إلى العديد من الأنواع على حسب أساس التقسيم.

يمكن تقسيم الدفعات على أساس تأكيد أو حتمية الدفع إلى نوعين من الدفعات وهما:

  1. الدفعات الاحتمالية
  2. الدفعات المؤكدة السداد

الدفعات الاحتمالية

الدفعات الاحتمالية هي الدفعات غير المؤكدة الدفع والتي يتوقف دفعها على تحقق شرط معين – أو احتمال معين – وإذا تحقق هذا الشرط تم الدفع، وإذا لم يتحقق هذا الشرط توقف الدفع. أي أن الدفعات الاحتمالية – وكما يدل اسمها – تخضع لمبادئ نظرية الاحتمالات، ومن أمثلة هذا النوع من الدفعات: دفعات المعاش التي يتوقف دفعها على بقاء المستفيد على قيد الحياة حتى يتم دفعها.

الدفعات المؤكدة السداد

الدفعات المؤكدة السداد هي الدفعات التي يتم دفعها بدون الارتباط بأي شرط من الشروط، حيث يتم سداد مبالغها بدون قيد أو شرط.

ومن أمثلتها دفعات الأقساط فـي حالة البيع بالتقسيط.

وسوف يتم دراسة هذا النوع من الدفعات بالتفصيل.

مدة سداد الدفعات

دفعات دائمة (لانهائية)

الدفعات الدائمة هي الدفعات التي تُدفع بانتظام ودون توقف ويستمر دفعها إلى ما لانهاية، وهي ليس لها مدة. ومن أمثلتها دفعات ريع الأراضي الزراعية.

وتُعتبر الدفعة الدائمة ليس لها مدة ويرمز لها بالرمز ∞ ما لم يُنص على أنها محدودة أو عدد معين من المبالغ (ن).

دفعات مؤقتة (محدودة)

الدفعات المؤقتة أو المحدودة هي الدفعات التي يتم دفعها لفترة محدودة، ويُرمز لهذه الفترة بالرمز (ن)، وهذه الدفعات تكون محدودة، وغالباً ما يكون عددها أيضاً مساوياً لمدة الدفع = ن، ومن أمثلة هذا النوع دفعات الأقساط في حالة شراء سيارة أو شقة تمليك بالتقسيط.

بدء سریان الدفعات

دفعات عاجلة ( أو معجلة)

الدفعات العاجلة هي الدفعات التي يبدأ دفع أول مبالغها بمجرد الاتفاق عليها، أي يتم سدادها بدون أي تأجيل. ومن أمثلتها سداد أقساط الشراء بالتقسيط بمجرد إتمام عملية الشراء.

دفعات آجلة (أو مؤجلة)

الدفعات الآجلة هي الدفعات التي يبدأ دفع أول مبالغها بعد فترة من تاريخ الاتفـاق عليها وهذه الفترة يطلق عليها فترة التأجيل، ومن أمثلتهـا دفعات أقساط الشراء بالتقسيط والتي يبدأ سدادها بعد انقضاء فترة سماح معينة، وكذلك في حالة شراء قطعة أرض زراعية لا تُعطي عائدها الدوري إلا بعد فترة زمنية وذلك لوجود رهن على الأرض أو لإصلاح الأرض.

والأصل أن تكون الدفعة عاجلة ما لم يُنص على أنها مؤجلة (أي أن هناك فترة تأجيل تسبق سداد أول دفعة).

ميعاد سداد الدفعات

دفعات عادية (مؤخرة السداد)

الدفعات العادية هي الدفعات التي يتم سداد مبالغها بصفة دورية منتظمة أخر كل فترة زمنية من فترات دفع الدفعات، ومن أمثلتها دفع أقساط قرض معين في نهاية كل فترة زمنية.

دفعات فورية (مقدمة السداد)

الدفعات الفورية هي الدفعات التي يتم سداد مبالغها بصفة دورية منتظمة أول كل فترة زمنية من فترات دفع الدفعات، ومن أمثلتها دفع أقساط شراء سلعة معينة بالتقسيط مع دفع أول قسط بمجرد الشراء (أول الفترة الزمنية).

والأصل أن تكون الدفعة عادية، وذلك ما لم يُنص على أنها فورية أي تُسدد في أول كل فترة زمنية.

مدة الدفعة

دفعات سنوية

الدفعات السنوية هي الدفعات التي سوف يكون الفاصل الزمني بين كل مبلغ دفعة والمبلغ الذي يليه سنة كاملة، ومن أمثلتها ريع الأراضي الزراعية السنوية.

دفعات غير سنوية

الدفعات غير السنوية هي الدفعات التي سوف يكون الفاصل الزمني بين كل مبلغ دفعة والمبلغ الذي يليه فترة غير سنوية، وقد تكون هذه الفترة أقل من السنة (مجزأة)، أو فترة أكبر من السنة (مجمدة)، وسوف يتم فيما يلي شرح الدفعات السنوية فقط.

مبلغ الدفعة

دفعات ذات مبالغ متساوية (ثابتة)

وهي الدفعات التي يكون مبلغ الدفعة فيها ثابت في جميـع الدفعات حيث يكون مبلغ الدفعة الأولى مساوياً لمبلغ الدفعة الثانية مساوياً لمبلغ الدفعة الثالثة وهكذا، ويُرمز لمبلغ الدفعة الثابت بالرمز (أ)، ومن أمثلتها الأقساط ذات المبالغ المتساوية في حالة الشراء بالتقسيط.

دفعات ذات مبالغ غير متساوية (متغيرة)

وهي الدفعات التي تتسم بعدم ثبات مبلـغ الدفعة، وتختلف مبالغ الدفعات عن بعضها البعض، وتنقسم الدفعات المتغيرة إلى:

  1. دفعات متغيرة بانتظام: وهي التي تخضع في تغيرها لقانون رياضي معين مثل قوانين المتواليات الحسابية و المتواليات الهندسية أو أي نوع أخر من المتسلسلات، وقد تكون هذه الدفعات متزايدة أو دفعات متناقصة.
  2. دفعات متغيرة بدون انتظام: أي الدفعات التي لا تخضع لقانون ثابت في تغيرها، وهذا النوع من الدفعات يعالج بالقوانين الأساسية لنظرية الفوائد المركبة.

فيما يلي، سوف يتم شرح الدفعات السنوية المتساوية المؤكدة السداد.

القيمة الحالية للدفعات المتساوية

يمكن تعريف القيمة الحالية لمجموعة من الدفعات المتساوية، سواء كانت عادية أو غير عادية؛ على أنها مجموع القيم الحالية لمبالغ هذه الدفعات المتساوية بعد خصم كل منها عن مدتها، وبمعدل فائدة مركبة متفق عليه.

وعلى ذلك تكون القيمة الحالية لهذه الدفعات عبارة عن مجموع هذه الدفعات المتساوية مطروحاً منه الفائدة المركبة الخاصة بكل منها عن مدة خصمها.

أي أنه يمكن الحصول على القيمة الحالية للدفعات عن طريق إيجاد القيمة الحالية لكل دفعة في بداية المدة؛ كلٍ على حدة؛ وتكون القيمة الحالية لهذه الدفعات عبارة عن مجموع هذه القيم الحالية.

أي أن:

القيمة الحالية لعدد ن من الدفعات المتساوية = القيمة الحالية للدفعة الأولى + القيمة الحالية للدفعة الثانية + القيمة الحالية للدفعة الثالثة + ……….. + القيمة الحالية للدفعة رقم ن

ولكن من قانون حساب القيمة الحالية لمبلغ يُستحق بعد (ن) سنة بفائدة مركبة ع فإن القيمة الحالية له:

القيمة الحالية = القيمة الاسمية × (1 + ع)

والقيمة الاسمية هنا هي مبلغ الدفعة = (أ)، وموعد سدادها بعد عدد (ن) سنة، أي أن:

القيمة الحالية للدفعة أ = أ × (1+ع)

بتطبيق هذا القانون على كل الدفعات التي يُنتظر تسديدها بعد (1، 2، 3، 4، …. ن) سنة، فيكون مجموع القيم الحالية لكل الدفعات هو:

القيمة الحالية لعدد (ن) من الدفعات المتساوية (أ) = أ × (1+ع)-1 + أ × (1+ع)-2 + أ × (1+ع)-3 + …………….+ أ × (1+ع)

أي أن:

مجموع القيمة الحالية للدفعات المتساوية = (أ × (1+ع)-1) × (1+ (1+ع)-1 + (1+ع)-2 + ….. + (1+ع)-ن+1)

استخدام قانون حساب مجموع المتتالية الهندسية

من قانون حساب مجموع المتتالية الهندسية التي حدها الأول = 1 وأساسها = (1+ع)-1، يمكن تبسيط مجموع القيم التي بين الأقواس، بحيث نحصل بالنهاية على مجموع القيمة الحالية للدفعات.

وتختلف القيمة التي يتم الحصول عليها باختلاف نوع الدفعات، وذلك بحسب ما إذا كانت دفعات فورية أو عادية أو مؤجلة وهكذا.

في الجزء التالي سوف نناقش كيفية إيجاد القيمة الحالية للأنواع المختلفة من الدفعات المتساوية بطريقتين هما:

  1. الطريقة الرياضية باستخدام قانون حساب مجموع المتتالية الهندسية
  2. طريقة استخدام الجداول المالية

القيمة الحالية للدفعات المتساوية المؤقتة

يمكن إيجاد القيمة الحالية للدفعات المؤقتة سواء كانت عاجلة أو مؤجلة، عادية أو فورية.

وهذا يعني أن القيمة الحالية للدفعات المؤقتة يمكن تقسيمها إلى أربعة أنواع كما يلي:

أنواع الدفعات المتساوية المؤقتة
أنواع الدفعات المتساوية المؤقتة

الرموز الرياضية المستخدمة

فيما يلي الرموز الرياضية المستخدمة في المعادلات:

ن = مدة الدفع الكلية السنوية (عدد الدفعات السنوية)

د نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية مبلغها واحد جنيه

م = مدة تأجيل الدفع قبل دفع أول دفعة بالسنوات

أ = مبلغ الدفعة السنوية

أ ر = مبلغ الدفعة السنوية رقم ر

ر = دليل ترتيب الدفعة ويأخذ القيم من 1 إلى ن

د‘ نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة الفورية مبلغها واحد جنيه

م / د نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة مدة قدرها م سنة العادية مبلغها واحد جنيه

م / د‘ نΓ = القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة مدة قدرها م سنة الفورية مبلغها واحد جنيه

ع = معدل الفائدة السنوي

أ = مبلغ الدفعة المتساوية

أولاً: إيجاد القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المتساوية باستخدام الطريقة الرياضية

تُسمى هذه الطريقة من الناحية العملية طريقة استخدام الآلة الحاسبة، ويتم إيجاد القيم الحالية لتلك الدفعات باستخدام القوانين التالية التي تم استنتاجها من قاعدة حساب القيمة الحالية لمبلغ وقاعدة مجموع المتتالية الهندسية وهي كما يلي:

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية = أ × (1 – ح ن) ÷ ع

حيث: ح ن = 1 ÷ (1 + ع) ن

وهي ترمز للقيمة الحالية لدفعة مؤقتة عادية مدتها ن ومبلغها واحد جنيه.

ع = معدل الفائدة السنوي.

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة الفورية = أ × (1 + ع) × (1 – ح ن) ÷ ع

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة العادية = أ × ح م × (1 – ح ن) ÷ ع

حيث:

أ = مبلغ الدفعة

ع = معدل الفائدة السنوي

ح م = (1 + ع)

ح ن = (1 + ع)

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة الفورية = أ × ح (م-1) × (1 – ح ن) ÷ ع

حيث:

ح (م-1) = (1 + ع) –(م-1)

ح ن = (1 + ع)

ثانياً: إيجاد القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المتساوية باستخدام طريقة الجداول المالية

يعتمد استخدام الجداول المالية لإيجاد القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المتساوية بأنواعها الأربعة على استخدام الرمز الحسابي التالي:

د نΓ بمعدل فائدة سنوي ع أو د نΓ ع٪، وهو يرمز للقيمة الحالية للدفعات المالية المؤقتة المتساوية العادية مبلغها واحد جنيه وعددها يساوي ن دفعة سنوية.

القوانين الحسابية

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة العادية = أ × د نΓ ع٪

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة العاجلة الفورية = أ × (1 + ع) × د نΓ ع٪

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة العادية = أ × ح م × د نΓ ع٪

القيمة الحالية للدفعات المؤقتة المؤجلة الفورية = أ × ح م-1 × د نΓ ع٪

حيث:

ح م = (1 + ع)

ح (م-1) = (1 + ع) –(م-1)

ن = عدد الدفعات السنوية المتساوية

م = مدة التأجيل الكلية بالسنوات قبل السداد

ع = معدل الفائدة المئوي السنوي

القيمة الحالية للدفعات المتساوية الدائمة

الدفعات المتساوية الدائمة هي الدفعات التي يستمر دفعها إلى مالانهاية.

وتنقسم الدفعات الدائمة إلى نوعين من الدفعات هما كما يلي:

دفعات عاجلة

وهي تُدفع بدون أي تأجيل أو بمجرد الاتفاق على سدادها والتي تنقسم بدورها إلى نوعين هما

دفعات عاجلة عادية: وهي التي يتم الاتفاق على دفعها في نهاية كل سنة ويرمز لها بالرمز د ن ¥ ع٪ والذي يمثل القيمة الحالية لدفعة متساوية دائمة عاجلة عادية مبلغها واحد جنيه.

دفعات عاجلة فورية: وهي الدفعات التي تُدفع أول كل سنة ويرمز لها بالرمز د‘ ن ¥ ع٪ والذي يمثل القيمة الحالية لدفعة متساوية دائمة عاجلة فورية مبلغها واحد جنيه.

دفعات مؤجلة

وهي تُدفع بعد فترة تأجيل أي يسبق سدادها فترة تأجيل قدرها م سنة وهي تنقسم بدورها إلى نوعين هما:

دفعات متساوية دائمة مؤجلة عادية: ويرمز لها بالرمز م/د ¥ ع٪

دفعات متساوية دائمة مؤجلة فورية: ويرمز لها بالرمز م/د‘ ¥ع٪

أولاً: إيجاد القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة باستخدام الطريقة الرياضية

تُسمى هذه الطريقة من الناحية العملية طريقة استخدام الآلة الحاسبة، ويتم إيجاد القيم الحالية لتلك الدفعات باستخدام القوانين التالية:

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة العاجلة العادية = أ × 1 ÷ ع

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة العاجلة الفورية = أ × (1 + 1÷ع)

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة المؤجلة العادية = أ × ح م × (1÷ع)

حيث: ح م = (1 + ع)

القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة المؤجلة الفورية = أ × ح م-1 × (1÷ع)

حيث: ح م-1 = (1 + ع) – (م-1)

ثانياً: إيجاد القيمة الحالية للدفعات السنوية المتساوية الدائمة باستخدام الجداول المالية

تقوم هذه الطريقة على استخدام العمود الثالث في الجداول المالية في إيجاد قيمة المقدارين ح ع٪، ح (م-١) ع٪ لقيم ن الصحيحة الموجبة من 1 إلى 50 وتحت المعدلات المختلفة من 1٪ إلى 16%، بدلاً من استخدام الآلة الحاسبة في حسابها مباشرة.

جملة الدفعات السنوية المتساوية

تنقسم الدفعات السنوية المتساوية إلى قسمين رئيسيين، وهما:

  1. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة
  2. الدفعات السنوية المتساوية الدائمة

فيما يلي شرحاً مفصلاً لطريقة حساب جملة كل نوع منها:

جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة

الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة تنقسم إلى نوعين أساسيين حسب بدء سريان الدفعات هما دفعات مؤقتة عاجلة ودفعات مؤقتة آجلة وهذه بدورها تنقسم إلى نوعين هما آجلة قبل السداد: وهذه الدفعات التأجيل فيها لا يؤثر على حساب الجملة، وآجلة بعد السداد: وهذه التأجيل فيها يؤثر على قيمة الجملة.

كما تنقسم الدفعات المؤقتة حسب ميعاد سداد الدفعات إلى نوعين هما مؤقتة عادية ومؤقتة فورية.

وسوف يتم استعراض طريقة إيجاد جملة الست أنواع التالية من الدفعات المؤقتة:

  1. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة العادية
  2. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة الفورية
  3. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد العادية
  4. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد الفورية
  5. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد العادية
  6. الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد الفورية

الرموز الحسابية المستخدمة

جـد نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة العادية مبلغها أ ومدتها = عددها = ن حيث جـ تعني جملة، د تعني دفعة.

جّـد نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة الفورية مبلغها أ ومدتها = عددها = ن حيث: جّـ تعني جملة، د تعني دفعة.

م/ جـد نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد العادية مبلغها أ.

م/ جّـد نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة قبل السداد الفورية مبلغها أ.

جـد نΓ/ م = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد العادية مبلغها أ.

جّـد نΓ/ م = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة المؤجلة بعد السداد الفورية مبلغها أ.

جـ نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة العادية مدتها ن ومبلغها واحد جنيه.

جّـ نΓ = جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة العاجلة الفورية مدتها ن ومبلغها واحد جنيه.

أ = مبلغ الدفعة.

ن = عدد مبالغ الدفعات = المدة الكلية بالسنوات.

م = مدة تأجيل السداد، سواء كان قبل السداد أو بعد السداد.

أولاً: إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة باستخدام الآلة الحاسبة

جـد نΓ ع% = أ × ((1 + ع) ن – 1 ) ÷ ع

جّـد نΓ ع% = أ × (1 + ع) × ((1 + ع) ن – 1) ÷ ع

م/ جـد نΓ ع% = جـد ن ع%

م/ جّـد نΓ ع% = جّـد ن ع%

جـد نΓ ع%/م = أ × (1 + ع) م × ((1 + ع) ن – 1) ÷ ع

جّـد نΓ ع%/م = أ × (1 + ع) م+1 × ((1 + ع) ن – 1) ÷ ع

ثانياً: إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة باستخدام الجداول المالية

يعتمد إيجاد قيمة المقدار جـد نΓ ع٪ مباشرة على جميع القيم الموجودة بالعمود الرابع من أعمدة الجداول المالية بقيم ن الصحيحة الموجبة بدءاً من ن = 1 إلى ن = 50 وتحت المعدلات المختلفة بدءاً من ع = 1% إلى ع = 16%.

قوانين إيجاد جملة الدفعات السنوية المتساوية المؤقتة عن طريق الكشف في الجداول المالية:

جـدنΓ ع٪ = أ × جـ ن ع٪

جّـدنΓ ع٪ = أ × (1 + ع) × جـ ن ع٪

جـدنΓ ع٪/م = أ × (1 + ع) م × جـ ن ع٪

جّـدنΓ ع٪/م = أ × (1 + ع) م+1 × جـ ن ع٪

م/جـدنΓ ع٪ = أ × جـ ن ع٪

م/جّـدنΓ ع٪ = أ × (1 + ع) × جـ ن ع٪

جملة الدفعات السنوية المتساوية الدائمة

الدفعات السنوية المتساوية الدائمة بأنواعها المختلفة سواء كانت عاجلة أو مؤجلة، فورية أو عادية، جملتها إلى مالانهاية يجب أن تساوي مالانهاية. وذلك وفقاً للمبادئ الأساسية ومسلمات الرياضيات.

وبذلك فإن جملة أي دفعة لا نهائية تساوي مالانهاية، وذلك لأن: ن = ∞ (ما لانهاية).

أي أن:

جـ Γ ع% = حّـ Γ ع% = م/ حـ Γ ع% = م/ جّـ Γ ع% = ∞

أدوات حساب الفائدة والجملة البسيطة والمركبة

Loading

يمكن استخدام حاسبة الفائدة البسيطة والمركبة لحساب الفائدة البسيطة والمركبة وجملة المبلغ المستثمر بفائدة بسيطة أو مركبة بنهاية مدة الاستثمار، وكذلك القيمة الحالية للدفعات المؤقتة والدائمة بفائدة مركبة، مع شرح طريقة الاستخدام والمعادلات الرياضية التي تستند إليها كل الحسابات، وهي من تصميم مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات.

لقراءة موضوع أدوات حاسبة مخصصة يمكن زيارة الرابط التالي: أدوات حاسبة مخصصة – مركز البحوث والدراسات

مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

المراجع

  • كتاب الرياضة المالية، دكتور يحيى موسى حسين الجبالي، دكتور محمد إبراهيم خليل، 2011م.
  • كتاب محاضرات في الرياضيات المالية، إعداد: د. م. مصطفى عبيد، 2000م.
الرياضيات المالية - الفائدة البسيطة والمركبة وقوانينها