التركيبات التعدادية – مبدأ العد الأساسي والتباديل والتوافيق

الملخص

التركيبات التعدادية – شرح وتبسيط مفهوم التركيبات التعدادية في الرياضيات، مبدأ العد الأساسي، التباديل والتوافيق، مع التوضيح بالأمثلة المبسطة.

ما هي التركيبات

التركيبات في الرياضيات (بالإنجليزية: Combinatorics)، هي مجال فرعي من “الرياضيات المنفصلة”، لذلك يجب أن نبدأ بالسؤال عما تعنيه الرياضيات المنفصلة.

في “الرياضيات المنفصلة”، ينصب التركيز على الانفصال، لذا فإن “المنفصل” هو عكس “المستمر”.

وإذا كنا ندرس كائنات يمكن فصلها ومعالجتها كمجموعة (قابلة للعد بشكل عام) من الوحدات بدلا من القيم المستمرة، فإن هذه الدراسة تقع في الرياضيات المنفصلة.

في حساب التفاضل والتكامل، نتعامل مع الوظائف والقيم المستمرة، لذا فإن حساب التفاضل والتكامل ليس رياضيات منفصلة.

في الجبر الخطي، غالبًا ما تحتوي المصفوفات على إدخالات حقيقية (أعداد حقيقية)، لذلك لا يقع الجبر الخطي أيضًا في الرياضيات المنفصلة.

غالبًا ما تتضمن الكتب النصية الخاصة بالرياضيات المنفصلة بعض المنطق، حيث يتم استخدام الرياضيات المنفصلة غالبًا كمسار لبوابات الرياضيات في المستوى الأعلى. كما يتم تغطية نظرية الأعداد الأولية ونظرية المجموعات أحيانًا. تُعد الخوارزميات موضوعًا شائعًا، حيث تميل تقنيات الخوارزميات إلى العمل بشكل جيد جدًا على أنواع الهياكل التي ندرسها في الرياضيات المنفصلة.

في التركيبات يتم التركيز على تراكيب وترتيبات الهياكل المنفصلة.

الفروع الرئيسية في التركيبات

هناك عدة فروع رئيسية من فروع التركيبات ومنها:

• التركيبات التعدادية (بالإنجليزية: Enumerative Combinatorics)
• التركيبات التحليلية (بالإنجليزية: Analytic Combinatorics)
• نظرية التقسيم (بالإنجليزية: Partition Theory)
• نظرية المخططات أو نظرية الرسم البياني (بالإنجليزية: Graph Theory)
• ونظرية التصميم (بالإنجليزية: Design Theory)
• ونظرية الترتيب (بالإنجليزية) Order Theory

فيما يلي شرح وتبسيط موضوع التركيبات التعدادية.

التركيبات التعدادية

التركيبات التعدادية هي عملية مركبة تتكون من مجموعة من عمليات العد البسيط التي يتم تركيبها معًا.

إذا كنت قد تعلمت المفاهيم الأساسية في نظرية الاحتمالات أو الإحصاء، فأنت قد تعلمت بالفعل بعض المبادئ والمشكلات التي سنتناولها هنا.

عندما يقوم إحصائي (أو عالم رياضيات آخر) بحساب “احتمالية” نتيجة معينة في الظروف التي تكون فيها جميع النتائج محتملة على قدم المساواة، فإن ما يفعلونه عادة هو تعداد جميع النتائج المحتملة، ثم معرفة عدد هذه النتائج.

مثال، ما هو احتمال ظهور الرقم 3 على وجه حجر النرد ذو 6 أوجه عند إلقاءه؟

الحل: لمعرفة ذلك، يحسب علم الرياضيات، فإن احتمال ظهور الرقم 3 هو أحد الاحتمالات الستة (عدد أوجه حجر النرد).

وبالتالي يكون الاحتمال هنا = 1 ÷ 6 = 1/6.

كان هذا مثالًا ربما يمكنك اكتشافه دون دراسة التعداد أو الاحتمال، ولكنه مع ذلك يوضح المبدأ الأساسي وراء العديد من حسابات الاحتمالات. هدف التركيبات التعدادية هو تمكيننا من حساب النتائج في المواقف الأكثر تعقيدًا، والتي تكون فيها التركيبات بطرق مختلفة.

في بعض الأحيان يكون هناك مضاعفات طبيعية لأسئلة الاحتمال، بمعنى أن تكون النتائج من النوع غير القابل للعد.

لكن في التركيبات التعدادية يكون التركيز على العد، وليس على الاحتمال.

للمزيد حول مفهوم الاحتمالات وقوانين حسابها يمكن قراءة الموضوع التالي:

نظرية الاحتمالات – مفهوم الاحتمالات وأنواعها وقوانين حسابها.

موسوعة الرياضيات – مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات

مبدأ العد الأساسي

عندما نحاول حساب عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها شيء ما، يكون الجواب واضحًا في بعض الأحيان.

على سبيل المثال، إذا كان متجر الكعك يحتوي على خمسة أنواع مختلفة من الكعك للبيع وكنت تخطط لشراء كعكة واحدة، فلديك خمس خيارات.

هناك بعض الطرق التي يمكن من خلالها أن يصبح الوضع أكثر تعقيدًا قليلا.

على سبيل المثال، ربما لم تقرر ما إذا كنت ستشتري كعكة أو قطعة خبز، كما أن المتجر يبيع ثلاثة أنواع من الخبز. أو ربما تريد فنجانًا من القهوة مع الكعك، وهناك أربعة أنواع مختلفة من القهوة، يأتي كل منها بثلاثة أحجام مختلفة.

هذه الأمثلة الخاصة صغيرة إلى حد ما ومباشرة، ويمكنك سرد جميع الخيارات أو التركيبات الممكنة إذا كنت ترغب في ذلك. الهدف من هذا الموضوع هو استخدام مثل هذه الأمثلة البسيطة لتوضيح قاعدتين تسمح لنا بحساب النتائج ليس فقط في هذه المواقف، ولكن في ظروف أكثر تعقيدًا.

هذه القواعد تسمى قواعد مبدأ العد الأساسي وهي قاعدة الضرب وقاعدة الجمع.

قاعدة الضرب في التركيبات التعدادية

قاعدة الضرب في التركيبات التعدادية هي قاعدة تنطبق عندما يكون لدينا أكثر من متغير واحد (أي الشيء الذي يمكن أن يتغير) يشاركون في تحديد النتيجة أو التركيبات النهائية.

مثال توضيحي

نفرض أنك قررت شراء القهوة في مقهى يبيع أربعة أصناف من القهوة كل منها بثلاثة أحجام ممكنة، وعندما تختار قهوتك، تحتاج إلى اختيار النوع والحجم.

والسؤال هو: بكم طريقة يمكن اختيار قهوتك في هذا المقهى؟

إحدى الطرق لمعرفة مجموع عدد الخيارات أو التركيبات المتاحة لديك، هي إنشاء جدول.

يمكنك تسمية الأعمدة بالأحجام، والصفوف بالأصناف (أو العكس، لا يهم).

سيكون لكل حقل في جدولك مجموعة مختلفة من الأنواع والأحجام:

كما ترى، تظهر مجموعة مختلفة من الأنواع والأحجام في كل حقل من الجدول.

وتظهر كل مجموعة ممكنة من النوع والحجم في مكان ما.

وبالتالي فإن العدد الإجمالي للخيارات الممكنة هو عدد الإدخالات في هذا الجدول.

على الرغم من أنه في مثال صغير مثل هذا، يمكننا ببساطة حساب جميع الإدخالات ونرى أن هناك اثني عشر، سيكون من المفيد أكثر أن نلاحظ أن الحساب الأولي يخبرنا أن عدد الإدخالات في الجدول سوف يكون مساويًا عدد الصفوف مضروبًا في عدد الأعمدة، وهو هنا = 4 × 3 = 12.

بعبارة أخرى، لتحديد العدد الإجمالي للخيارات المتاحة هنا، نقوم بضرب عدد خيارات النوع (أي عدد الصفوف في الجدول) في عدد خيارات الحجم (أي عدد الأعمدة في الجدول). هذا مثال لما نسميه قاعدة الضرب.

نحن الآن جاهزون للإعلان عن قاعدة الضرب بشكل عام.

نص قاعدة الضرب في التركيبات التعدادية

عندما يكون المطلوب حساب العدد الإجمالي للخيارات أو التركيبات المتاحة في أي عملية تتكون من تركيبة من الخيارات الجزئية المختلفة من التركيبات الإجمالية المتاحة، بحيث يكون لدينا عدد ن₁ من الخيارات المتاحة للجزء الأول وعدد ن₂ من الخيارات المتاحة للجزء الثاني، فإن العدد الإجمالي للخيارات أو الإمكانات المحتملة سيكون:

العدد الإجمالي للخيارات = ن₁ × ن₂

في المثال أعلاه، يمكننا التفكير في الجزئيات التي يمكن تأخذ خيارات مختلفة على أنها نوع القهوة، والحجم.

وبالتالي يكون لدينا أربع خيارات للجزء الأول، وثلاث خيارات للجزء الثاني.

وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة = 4 × 3 = 12.

في بعض الأحيان يبدو من الواضح أن هناك أكثر من جزئين مختلفين في العملية، إذا حدث ذلك، فيمكننا تطبيق قاعدة الضرب أكثر من مرة لتحديد الإجابة، أولا بتحديد جزئين وحساب الإمكانات المتاحة لهما، ثم اعتبارهما معًا جزءًا واحدًا وتركيبه مع الجزء الثالث وحساب الإمكانات المتاحة لهم من ضمن مجموعة التركيبات المتاحة، وهكذا.

مثال على قاعدة الضرب في التركيبات التعدادية

شخص يريد شراء قهوة وقطعة كعك، يحتوي المتجر على خمسة أنواع من الكعك للبيع، ويبيع أربعة أنواع من القهوة بثلاثة أحجام.

بكم طريقة يمكن لهذا الشخص أن يتناول القهوة مع الكعك؟

من الطبيعي هنا أن يتم تقسيم العملية إلى عدة أجزاء، أولا الجزء الخاص باختيار الكعك، والجزء الخاص باختيار القهوة.

حساب عدد الإمكانات المتاحة لشراء القهوة: (4 أنواع، 3 أحجام)

بتطبيق قاعدة الضرب، نحصل على:

عدد الإمكانات لشراء القهوة = 4 أنواع × 3 أحجام = 12 اختيار.

ثم نقوم بحساب عدد الإمكانات المتاحة لتناول الكيك مع القهوة، حيث لدينا (12 طريقة لتناول القهوة، 5 أنواع من الكعك).

بتطبيق قاعدة الضرب مرة أخرى، نحصل على:

عدد الإمكانات أو التركيبات المتاحة لتناول الكعك مع القهوة = 12 × 5 = 60 طريقة.

المثال التالي يتضمن بشكل أوضح التطبيقات المتكررة لقاعدة الضرب.

مثال آخر على قاعدة الضرب

تُفكر “حلا” في تصنيع ملابس الأطفال. بشكل عام، هناك ثلاثة أحجام من القمصان للأطفال:

• صغيرة
• متوسطة
• كبيرة

وهي تريد أن تصنع القمصان بثمانية ألوان مختلفة:

الأزرق والأصفر والوردي والأخضر والأرجواني والبرتقالي والأبيض والأسود.

يمكن وضع صورة على القمصان من الأمام وشعار في الخلف.

لقد جهّزت “حلا” ثلاث صور وخمس شعارات لهذا الغرض.

تريد “حلا” إنتاج عينة واحدة من كل نوع من القمصان التي ستعرضها للبيع في المعرض.

تكلف القمصان 4 دولارات لكل منها.

كم ستكلفها كل العينات (إجمالا)؟

الحل

لحل هذه المشكلة، لاحظ أنه لتحديد عدد القمصان التي ستنتجها “حلا” كعينات يمكننا أن نعتبر الحجم أحد الجوانب أو جزئية واحدة من هذه العملية، وأسلوب التصميم (بما في ذلك اللون والصورة والشعار) على أنه الجانب الآخر أو الجزئية الأخرى من هذه العملية.

وبالتالي يكون لدينا عدد الأحجام المتاحة:

ن₁ = 3

ولذلك سيكون عدد العينات الإجمالي = 3 × ن₂

حيث ن₂ هو عدد أساليب التصميم الممكنة.

نقوم الآن بتجزئة ن₂ أكثر: لتحديد عدد الأساليب الممكنة المتاحة، حيث يمكن تقسيمها إلى جزئين:

1. الجزء الأول هو اللون ن₁₂
2. الجزء الثاني هو الزخرفة ن₂₂ (ويشمل الصورة والشعار).

وبالتالي يكون لدينا عدد الألوان:

ن₁₂ = 8

لذلك سيكون عدد أساليب التصميم الإجمالي = 8 × ن₂₂.

حيث ن₂₂ عدد الإمكانات المتاحة لتصميم الزخرفة (وتشمل التركيبات لكل من الصور مع الشعار).

نقوم الآن بتقسيم ن₂₂ إلى أجزاء أصغر، لتحديد عدد الزخارف الممكنة المتاحة، يمكن تقسيمها إلى جزئين:

1. الأول للصورة ن₁₂₂
2. والثاني للشعار ن₂₂₂.

وبالتالي يكون لدينا عدد ن₁₂₂ = 3 صور محتملة وعدد ن₂₂₂ = 5 شعارات محتملة، لذلك تخبرنا قاعدة الضرب أنه لدينا عدد:

ن₁₂₂ × ن₂₂₂ = 3 × 5 = 15 من التركيبات المحتملة من الصورة والشعار (الزخارف).

بوضع كل هذا معًا، نرى أن “حلا” سيتعين عليها إنشاء عدد:

3 × 8 × 3 × 5 = 360 عينة من القمصان.

ونظرًا لأن كل قميص يكلف 4 دولارات، فستكون التكلفة الإجمالية لها = 1440 دولارًا.

المثال السابق هو بمثابة تمهيد جيد لتعميم قاعدة الضرب.

فقد كان من الطبيعي أن نفكر منذ البداية أن هناك أربعة جوانب أو جزئيات واضحة للقمصان التي يمكن أن يتم تصميمها بشكل مختلف:

الحجم؛ اللون؛ الصورة؛ الشعار

والعدد الإجمالي للقمصان المطلوب تصميمها هو ناتج ضرب كل الإمكانات المحتملة لهذه الجوانب:

العدد الإجمالي = 3 × 8 × 3 × 5 = 360.

تعميم قاعدة الضرب في التركيبات التعدادية

يمكن تعميم قاعدة الضرب للعديد من الأجزاء أو الجوانب، بحيث أنه:

إذا كان لدينا عدد من الأجزاء أو الجوانب المختلفة لعملية معينة، وإذا كان لكل جانب أو جزء عدد من الإمكانات المحتملة، فإن العدد الإجمالي للإمكانات المحتملة في هذه العملية = حاصل ضرب كل الإمكانات المحتملة لكل الأجزاء أو التركيبات المكونة لهذه العملية.

أو يمكن التعبير عن ذلك بالرموز الرياضية:

إذا كان لدينا عدد من الجوانب أو الأجزاء المختلفة لعملية معينة ولكل جانب عدد الإمكانات:

ن₁ ، ن₂ ، ن₃ ، ن₄ ، …… ن_م

فإن:

عدد التركيبات أو الإمكانات الإجمالي المتاح في هذه العملية = ن₁ × ن₂ × ن₃ × ن₄ × ………….. × ن_م

الآن لنلقي نظرة على مثال نحاول فيه تقييم الاحتمالية.

نظرًا لأن هذا الموضوع يتعلق بالعد وليس الاحتمالات، فسوف تقتصر الأمثلة على الحالات التي تكون فيها جميع الإمكانات أو الخيارات المحتملة متساوية ولها نفس الفرصة في الاحتمالات. وفي ظل هذا الافتراض، من أجل تحديد الاحتمال، يمكن أن نحسب عدد الإمكانات المتاحة التي تحتوي على الخاصية التي نبحث عنها، ثم نقوم بالقسمة على العدد الإجمالي للإمكانات المتاحة.

مثال على تطبيق قاعدة الضرب

“بيتر” و”ماري” لديهما ابنتان. ما احتمالية أن يكون الطفلان القادمان من الفتيات أيضًا؟

الحل: للإجابة على ذلك، نعتبر كل طفل جزءًا أو جانبًا مختلفًا من جوانب العملية.

هناك جنسان محتملان لطفلهما الثالث:

1. صبي أو
2. فتاة.

ولكل من هؤلاء، هناك خياران ممكنان لطفلهما الرابع:

1. صبي أو
2. فتاة.

إذًا بشكل عام، تخبرنا قاعدة الضرب أن هناك 2 × 2 = 4 مجموعات ممكنة للجنسين من أطفالهم الثالث والرابع.

سيكون هذا هو العدد الإجمالي للإمكانات أو الاحتمالات المتاحة المتوفرة في هذه المسألة (وهذا هو المّقام في القانون العام لحساب الاحتمالات، ويكون المتبقي هو حساب البسط لمعرفة الاحتمال).

لتحديد البسط ( وهو عدد الطرق التي يمكن أن يكون بها كلا الطفلين من الفتيات)، نعتبر كل طفل مرة أخرى جانبًا أو جزءًا مختلفًا. هناك طريقة واحدة فقط يمكن أن يكون فيها الطفل الثالث فتاة، ثم هناك طريقة واحدة ممكنة ليكون الطفل الرابع فتاة. إذن، بشكل عام، واحدة فقط من المجموعات الأربعة الممكنة من الجنسين تشمل أن يكون كلا الطفلين من الفتيات.

بمعرفة البسط (1) والمقام (4)، فإنه يمكن حساب احتمال أن يكون الطفلان القادمان من الفتيات، بتطبيق القانون العام لحساب الاحتمالات، يكون الناتج = 1/4 = 25%.

يُلاحظ أنه في هذا المثال، كانت حقيقة أن أول طفلين لـ “بيتر” و”ماري” من الفتيات غير ذات صلة بحساباتنا، لأنها كانت بالفعل نتيجة معروفة، انتهت وتنتهي، لذلك صحيح بغض النظر عما قد يحدث مع أطفالهم اللاحقين. إذا لم يكن لدى “بيتر” و”ماري” أي أطفال حتى الآن، وسألنا عن احتمال أن يكون أول أربعة أطفال من الفتيات، فيجب أن تتضمن حساباتنا كلا الخيارين المحتملين لجنس كل من أول طفلين. في هذه الحالة، سيكون الاحتمال النهائي 1/16 (هناك 16 مجموعة ممكنة من الجنسين لأربعة أطفال، واحد منهم فقط يشمل جميعهم من الإناث الأربعة).

تمارين على قاعدة الضرب في التركيبات التعدادية

استخدم فقط قاعدة الضرب للإجابة على الأسئلة التالية:

1. السيارة التي يريد “جاك” شراءها تأتي بأربعة ألوان؛ مع أو بدون تكييف الهواء؛ مع خمس خيارات مختلفة لأنظمة الستريو؛ واختيار أي من حصائر الأرضيات، اثنان أو أربعة. إذا كان لدى الوكالة التي يزورها ثلاث سيارات في المخزن، لكل منها خيارات مختلفة، فما هو احتمال أن تكون إحدى السيارات التي في المخزن لديها الخيارات التي يريدها بالضبط؟
2. تقوم “كاندي” بكتابة كتاب “اختر مغامرتك الخاصة”، حيث تريد أن يؤدي كل خيار ممكن إلى نهاية مختلفة. إذا كانت هناك أربع نقاط يجب عندها تحديد الخيارات في كل قصة، وهناك ثلاث خيارات في المرة الأولى ولكن خيارين في كل مرة بعد ذلك، فكم عدد النهايات التي تحتاج “كاندي” إلى كتابتها؟
3. يشتري “ويليام” خمسة كتب. لكل كتاب لديه خيارات الإصدار: غلاف مقوّى، غلاف عادي، أو إلكتروني. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنه من خلالها الاختيار؟

قاعدة الجمع في التركيبات التعدادية

قاعدة الجمع هي قاعدة يمكن تطبيقها لتحديد عدد الإمكانات أو التركيبات المحتملة عندما يكون هناك أمران مختلفان يمكن الاختيار من بينهما أمرًا واحدًا للقيام به، وطرق مختلفة يمكن من خلالها تنفيذ كل أمر منهما، ولكن لا يمكن القيام بالأمرين معًا. وغالبًا ما يتم تطبيق هذه القاعدة عندما تكون هناك طريقة طبيعية لتقسيم الإمكانات المتاحة.

المثال الخاص بعملية شراء قطعة كعك أو قطعة خبز من المتجر، حيث تُباع فيه خمسة أنواع من الكعك وثلاثة أنواع من الخبز. والمطلوب اختيار واحد فقط. لذا فإن إحدى الطرق لتحديد عدد الخيارات بشكل إجمالي هي كتابة جميع أنواع الكعك الممكنة في قائمة واحدة، وجميع أنواع الخبز الممكنة في قائمة أخرى، وبالتالي يكون العدد الإجمالي للخيارات الممكنة أو التركيبات هو عدد الإدخالات التي تظهر في القائمتين مجتمعة، وهي = 5 + 3 = 8.

وهذا هو مضمون قاعدة الجمع.

نص قاعدة الجمع في التركيبات التعدادية

عندما يكون هناك أمران مختلفان يمكن الاختيار من بينهما أمرًا واحدًا للقيام به ولا يمكن القيام بالأمرين معًا، وإذا كان لدينا عدد ن₁ من الطرق المحتملة للقيام بالأمر الأول، وعدد ن₂ من الطرق المحتملة للقيام بالأمر الثاني، فيكون العدد الإجمالي للطرق المحتملة التي تتشكل من التركيبات المختلفة للقيام بأي من الأمرين (دون الآخر) = ن₁ + ن₂.

من الصعب فعل الكثير باستخدام قاعدة الجمع بحد ذاتها، سوف نوضح مثالا لاستخدامها بشكل مبسط ثم بعض الأمثلة الأكثر تحديًا حيث يتم الجمع بين القاعدتين (الضرب والجمع).

في بعض الأحيان تنقسم المشكلة بشكل طبيعي إلى حالتين فقط، وفي أحيان أخرى يمكن أن تنقسم إلى أكثر من حالتين. إذا حدث ذلك، فيمكننا تطبيق قاعدة الجمع أكثر من مرة لتحديد الإجابة. أولا نحدد حالتين (إحداها قد تكون “بقية الحالات الأخرى”)، ثم نقسم إحدى الحالتين أو كلتيهما في كل مرة ونقوم بالجمع.

المثال التالي يوضح هذه الطريقة:

مثال على قاعدة الجمع

تخطط “مريم” و”بيتر” لإنجاب ما لا يزيد عن ثلاثة أطفال. ما هي التراكيب المحتملة من الفتيات والفتيان الذين قد ينجبونهم، بغض النظر عن الترتيب (بمعنى أن ترتيب ولادة الأطفال لا يؤخذ بالاعتبار).

للإجابة على هذا السؤال، سوف نقسم المشكلة إلى أجزاء. أولا سنقسم المشكلة إلى احتمالين: ليس لدى “ماري” و”بيتر” أطفال. أو لديهم طفل واحد على الأقل.

إذا لم يكن لدى “ماري” و”بيتر” أطفال، يمكن أن يحدث ذلك بطريقة واحدة فقط (لا أولاد ولا فتيات). إذا كان لدى “ماري” و”بيتر” طفل واحد على الأقل، فإن لديهم ما بين طفل وثلاثة أطفال. سيتعين علينا تقسيم هذا بشكل أكبر للعثور على عدد النتائج التي ينطوي عليها الأمر.

نقوم بتقسيم الحالة حيث يكون لدى “ماري” و”بيتر” ما بين طفل وثلاثة أطفال إلى حالتين: قد يكون لديهم طفل واحد، أو قد يكون لديهم أكثر من طفل واحد. إذا كان لديهم طفل واحد، فقد يكون هذا الطفل صبيًا أو فتاة، لذلك هناك نتيجتان محتملتان. إذا كان لديهم أكثر من طفل، فسنحتاج مرة أخرى إلى تقسيم هذه الحالة.

الحالة التي تنجب فيها “ماري” و”بيتر” إما طفلان أو ثلاثة تنقسم بشكل طبيعي إلى حالتين: قد يكون لديهم طفلان، أو قد يكون لديهم ثلاثة أطفال. إذا كان لديهم طفلان، فقد يكون عدد الفتيات صفر أو واحد أو طفلين، لذلك هناك ثلاث نتائج محتملة. إذا كان لديهم ثلاثة أطفال، فقد يكون عدد الفتيات صفر أو واحد أو اثنين أو ثلاثة، لذلك هناك أربع نتائج محتملة.

جمع النتائج

الآن نضع كل هذه النتائج معًا في قاعدة الجمع. نستنتج أن العدد الإجمالي لكل الإمكانات = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. أي أن هناك عشرة مجموعات مختلفة من الفتيات والفتيان التي قد ينجبونها “ماري” و”بيتر”.

يُلاحظ من هذا المثال أنه كان من الممكن التقسيم والجمع بشكل متكرر، وبالتالي فإن ذلك بمثابة دليل جيد لتعميم قاعدة الجمع. مثلا كان من الممكن أن يتم تقسيم مشكلة أطفال “ماري” و”بيتر” إلى أربع حالات منذ البداية، اعتمادًا على ما إذا كانوا سيحصلون بالنهاية على صفر أو واحد أو اثنين أو ثلاثة أطفال. ويكون إجمالي عدد مجموعات الفتيات والفتيان التي قد يحصلون عليها هو مجموع المجموعات التي يمكن أن يحصلوا عليها في كل من هذه الحالات:

إجمالي عدد المجموعات = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

تعميم قاعدة الجمع

عندما يكون لدينا عدد (م) من الحالات المختلفة للقيام بأمر معين والتي يمكن الاختيار من بينها حالة واحدة فقط ولا يمكن القيام بغيرها بنفس الوقت، وإذا كان لدينا عدد (ن₁) من الطرق المحتملة للحالة الأولى، وعدد (ن₂) من الطرق المحتملة للحالة الثانية، ….. ، وعدد (ن_م) من الطرق المحتملة للحالة رقم م، فيكون:

العدد الإجمالي للطرق أو التركيبات المحتملة = ن₁ + ن₂ + ن₃ + ن₄ + ….. + ن_م

هناك طريقة أخرى مهمة لاستخدام قاعدة الجمع بشكل أكثر دقة.

لنفترض أنك تعرف العدد الإجمالي للطرق، وتريد معرفة عدد الطرق التي لا تتضمن حدثًا معينًا.

تخبرنا قاعدة الجمع أن العدد الإجمالي للطرق يتألف من الطرق التي تتضمن هذا الحدث، إلى جانب تلك التي لا تتضمنه. لذلك، إذا كان من السهل معرفة عدد الطرق التي تتضمن الحدث الذي يثير اهتمامك، فيمكنك طرح ذلك من إجمالي عدد الطرق لتحديد عدد الطرق التي تستبعد هذا الحدث.

مثال على قاعدة الجمع

هناك 216 نتيجة مختلفة محتملة لإلقاء ثلاثة أحجار نرد باللون الأبيض، الأحمر والأصفر. (يمكنك التأكد من ذلك باستخدام قاعدة الضرب). كم عدد النتائج التي تنطوي على ظهور الرقم (1) في اثنين أو أقل من أحجار النرد؟

عند التعامل مع هذه المشكلة مباشرةً، قد تميل إلى تقسيمها إلى ثلاث حالات:

• النتائج التي لا تتضمن إلقاء أي منها،
• وتلك التي تنطوي على إلقاء حجر واحد بالضبط،
• وتلك التي تنطوي على إلقاء حجرين بالضبط.

إذا حاولت ذلك، فسيكون التحليل طويلًا ومتضمنًا إلى حد ما، وسيتضمن كلا من قاعدة الضرب وقاعدة الجمع. إذا كنت حريصًا، فستتمكن من العثور على الإجابة الصحيحة بطريقة أسرع وهي كما يلي:

سنستخدم نهجًا مختلفًا، من خلال احتساب النتائج التي لا نريدها أولا: تلك التي تنطوي على الحصول على الرقم (1) في جميع أحجار النرد الثلاثة. هناك طريقة واحدة فقط لحدوث ذلك، لذا فإن عدد النتائج التي تنطوي على ظهور الرقم (1) في اثنين أو أقل من أحجار النرد سيكون = 216 – 1 = 215.

استخدام قاعدتي الضرب والجمع معًا

عندما نجمع بين قاعدة الضرب وقاعدة المجموع، يمكن استكشاف أسئلة أكثر تحديًا.

مثال على استخدام قاعدتي الضرب والجمع معًا

تخطط “كاثي” لشراء قميص لأبيها في عيد ميلاده. يحتوي المتجر الذي تذهب إليه على ثلاثة ألوان مختلفة من القمصان قصيرة الأكمام وستة ألوان مختلفة من القمصان ذات الأكمام الطويلة. يتم لف الهدية بأحد نوعين من الأوراق المخصصة لتغليف الهدايا، إذا افترضنا أنها تريد تغليف القميص، فكم عدد الخيارات المختلفة المتاحة لها لشراء هذه الهدية؟

نبدأ بتطبيق قاعدة الضرب أولا. هناك جانبان للمسألة حيث يمكن تكوين التركيبات من كل من نوع القميص وطريقة التغليف. لديها خياران للتغليف، لذلك سيكون إجمالي عدد الخيارات لديها ضعف مجموع عدد خيارات القمصان التي لديها. بالنسبة للقميص، نقسم خياراتها إلى حالتين: إذا اختارت قميصًا قصير الأكمام، فلديها ثلاث خيارات (من اللون)، بينما إذا اختارت قميصًا طويل الأكمام، فلديها ست خيارات. ويكون المجموع لديها = 3 + 6 = 9 خيارات للقميص. باستخدام قاعدة الضرب، نجد أن لديها 2 × 9 = 18 خيارًا لهديتها

بدلا من ذلك، يمكننا تطبيق قاعدة الجمع أولا. سننظر في الحالتين: أنها تشتري قميصًا قصير الأكمام؛ أو قميص طويل الأكمام. إذا اشترت قميصًا بأكمام قصيرة، فلديها ثلاث خيارات للقميص، ولديها خياران للتغليف، مما يجعل (حسب قاعدة الضرب) لديها 3×2 = 6 خيارات للقمصان قصيرة الأكمام. وإذا اشترت قميصًا بأكمام طويلة، فلديها ست خيارات للقميص، ولديها خياران للتغليف، مما يجعل (حسب قاعدة الضرب) لديها 6 × 2 = 12 خيارًا للقمصان ذات الأكمام الطويلة. باستخدام قاعدة الجمع، نجد أن لديها عدد = 6 + 12 = 18 خيارًا لهديتها.

تمارين على مبدأ العد الأساسي

• ما عدد كلمات المرور التي يمكن إنشاؤها بالقيود التالية:

1. أن تتكون كلمة المرور من ثلاثة أحرف وتحتوي على حرفين صغيرين ورقم واحد، بترتيب ما.
2. أن تتكون كلمة المرور من ثمانية أو تسعة أحرف وتتكون بالكامل من أرقام.
3. وأن تتكون كلمة المرور من خمسة أحرف وتتكون من أحرف وأرقام صغيرة. يجب أن تأتي جميع الأحرف قبل جميع الأرقام في كلمة المرور، ولكن يمكن أن يكون هناك أي عدد من الأحرف (من صفر إلى خمسة).
4. أن تكون كلمة المرور من أربعة أحرف وتتكون من حرفين يمكن أن يكونا إما رقمًا أو حرفًا من 16 حرفًا خاصًا وحرفين صغيرين. يمكن أن يكون الحرفان في أي اثنين من الخانات الأربعة.
5. أن تتكون كلمة المرور من ثمانية أحرف ويجب أن تتضمن حرفًا واحدًا على الأقل ورقمًا واحدًا على الأقل.
6. أن تتكون كلمة المرور من ثمانية أحرف ولا يمكن أن تتضمن أي حرف أكثر من مرة.

• هناك 8 حافلات يوميًا من تورونتو إلى أوتاوا (مدن في كندا)، و20 حافلة من أوتاوا إلى مونتريال، و9 حافلات مباشرة من تورونتو إلى مونتريال. بافتراض أنك لست مضطرًا لإكمال الرحلة في يوم واحد (لذا فإن أوقات المغادرة والوصول للحافلات ليست مشكلة)، فكم عدد الجداول المختلفة التي يمكنك استخدامها في السفر بالحافلة من تورونتو إلى مونتريال؟

• كم عدد السلاسل الثلاثية 7 بت (أي السلاسل) التي تكون إدخالاتها الوحيدة 0 أو 1 أو 2 وتبدأ بـ 1 أو 01؟

اختيار القاعدة المناسبة

من المحتمل جدًا أننا استخدمنا قاعدة الجمع أو قاعدة الضرب عند حساب الأشياء البسيطة في حياتنا اليومية، دون التوقف حتى للتفكير فيما كنا تفعله. إن سبب الشرح المفصل لهاتين القاعدتين وتوضيحها بالأمثلة المبسطة بالتفصيل وبحذر هو لأنه عندما نبدأ في البحث عن حلول لمشاكل أكثر تعقيدًا، ستصبح استخداماتنا لقواعد الجمع والضرب أكثر دقة. وإذا لم يكن لدينا فهم واضح جدًا في مواقف وأمثلة بسيطة جدًا لما نقوم به ولماذا، فإننا سنفشل تمامًا عندما نصل إلى أمثلة أكثر صعوبة.

من الخطر محاولة التوصل إلى إرشادات مبسطة ومحددة حول وقت استخدام قاعدة الضرب ووقت استخدام قاعدة الجمع، لأن مثل هذا الدليل المُبسط سيخطئ غالبًا في المواقف المعقدة. ومع ذلك، فإن السؤال الجيد الذي يجب أن نطرحه على أنفسنا عندما نحاول تحديد القاعدة التي يجب استخدامها هو: هل نصف الموقف أو المسألة باستخدام حرف “و” أو باستخدام حرف “أو”؟ يُستخدم حرف “و” بشكل عام في المواقف التي يكون فيها من المناسب استخدام قاعدة الضرب، بينما يظهر حرف “أو” غالبًا في المواقف التي يكون فيها من المناسب استخدام قاعدة الجمع.

ويمكن التأكد من هذه الوصفة عند تأمل الأمثلة السابقة وتمييز الحالات التي تم فيها استخدام قاعدة الضرب والحالات التي تم فيها استخدام قاعدة الجمع.

في المثال الأول، اختيار حجم ونوع القهوة، في المثال الثاني اختيار كعكة وخبز، في المثال الثالث تحديد الحجم واللون والصورة والشعار لكل قميص. في المثال الرابع أردنا معرفة جنس الطفلين الثالث والرابع. لذلك في كل من هذه الأمثلة، استخدمنا قاعدة الضرب.

في المثال الخامس كان المطلوب اختيار الخبز أو الكعك. وفي المثال السادس يمكن أن يكون لماري وبيتر صفر أو واحد أو اثنين أو ثلاثة أطفال. لذلك في كل من هذه الأمثلة، استخدمنا قاعدة الجمع.

ملاحظة مهمة

يجب علينا بالتأكيد توخي الحذر في تطبيق هذا الدليل من أجل الاسترشاد، حيث يمكن صياغة المسائل بطريقة مُضللة. كأن تُصاغ المسألة في المثال الثاني بطريقة: ما هو عدد الأنواع المختلفة من الكعك والخبز. وبالتالي فإن التركيز يكون على النقطة المهمة وهي أن الاختيار لا يكون لهما معًا، بل أنه اختيار شيئًا واحدًا فقط، وسيكون إما الكعك أو الخبز.

في المثال الأخير، يمكن للقميص الذي تختاره كاثي أن يكون بأكمام قصيرة أو بأكمام طويلة، لذلك تنطبق قاعدة الجمع على هذا التمييز. ونظرًا لأنها تريد اختيار قميص ولف الهدية، تنطبق قاعدة الضرب على هذا التركيب.

تمارين للتميز بين قاعدتي الضرب والجمع

لكل من المسائل التالية، هل تحتاج إلى استخدام قاعدة الجمع أو قاعدة الضرب أو كليهما؟

• احسب جميع الأعداد التي تحتوي على رقمين بالضبط، والأعداد التي تحتوي على أربعة أرقام بالضبط.
• كم عدد النتائج المحتملة من إلقاء حجري نرد أحدهما باللون الأحمر والثاني باللون الأصفر؟
• كم عدد النتائج المحتملة من إلقاء ثلاثة أحجار من النرد معًا، إذا كنا سنحسب فقط النتائج التي يظهر فيها الرقم (1) مرة واحدة على الأكثر؟

التباديل والتوافيق

الأمثلة التي نظرنا إليها أعلاه تضمنت استخلاص الإمكانات أو التركيبات من عدد لا نهائي من العناصر التي لا يمكن أن تنفذ. عند شراء قطعة الكيك من المحل، لم نعطِ أي اعتبار لعدد قطع الكيك الموجودة في هذا المحل، وعند إنشاء كلمة مرور، لا يهم عدد الأحرف من النوع س التي تم استخدامها، لأنها لن تنفذ مهما استخدمنا منها فهي موجودة بعدد لانهائي. وهكذا في كل الأمثلة السابقة.

فيما يلي، سنلقي نظرة على المواقف التي نختار فيها أكثر من عنصر واحد من مجموعة منتهية من العناصر، يتم تحديد كل عنصر فيها بشكل فريد، على سبيل المثال، اختيار أشخاص من مجموعة أو بطاقات ورق اللعب من مجموعة.

التباديل

التباديل هي تطبيق مباشر لقاعدة الضرب. وتعني كلمة “التباديل” إعادة الترتيب، وهذا بالضبط ما يُقصد بالتباديل، فهي عملية ترتيب عدد من العناصر المميزة في سطر واحد. في بعض الأحيان على الرغم من أن لدينا عددًا كبيرًا من العناصر المميزة، فإننا نرغب في تحديد عدد أصغر وترتيبها في سطر واحد. هذا أيضًا نوع من التبديل.

تعريف التباديل

تبديل ن للعناصر المميزة هو ترتيب لتلك العناصر في خط منظم.

إذا كان 1 ≤ ر ≤ ن ، (ر هو رقم صحيح) فإن ترتيب ر للعناصر ن هو ترتيب ر للعناصر ن في خط منظم.

لذا فإن التبديل يتضمن اختيار العناصر من مجموعة محدودة يتم فيها تحديد كل عنصر بشكل فريد، وتتبع الترتيب الذي تم اختيار العناصر به.

نظرًا لأننا ندرس التعداد، فلا ينبغي أن نفاجأ بأن ما سنطلبه في هذه الحالة هو عدد التباديل الموجودة في ظروف متنوعة. لنبدأ بمثال سنحسب فيه عدد التباديل الثلاثة لعشرة أشياء (أو في هذه الحالة، عشرة أشخاص).

مثال لتوضيح مفهوم التباديل

يتنافس عشرة رياضيين على ميداليات أولمبية في التزلج السريع للرجال (1000 متر). كم عدد الطرق التي قد يتم فيها منح الميداليات الثلاثة؟

هناك ثلاث ميداليات: الذهبية والفضية والبرونزية ، لذا فإن هذا السؤال يرقى إلى إيجاد عدد التبديلات الثلاثة للرياضيين العشرة (أول شخص في التبديل الثلاثي هو الذي يحصل على الميدالية الذهبية، والثاني يحصل على الفضة، والثالث يحصل على البرونز).

لحل هذا السؤال، سنطبق قاعدة الضرب، حيث الجوانب التي يمكن أن تختلف هي الفائزون بالميداليات الذهبية والفضية والبرونزية. نبدأ بالنظر في عدد الرياضيين المختلفين الذين قد يحصلون على الميدالية الذهبية. الجواب هو أن أي من الرياضيين العشرة قد يحصل على تلك الميدالية. بغض النظر عن أي من الرياضيين يحصل عليها. بمجرد أن نحدد ذلك، ننقل نظرتنا إلى الميدالية الفضية. نظرًا لأن أحد الرياضيين قد حصل بالفعل على الميدالية الذهبية، يبقى تسعة منهم فقط في السباق على الميدالية الفضية، لذلك بالنسبة لأي اختيار رياضي يفوز بالميدالية الذهبية، فإن عدد الخيارات المتبقية لمن يحصل على الميدالية الفضية هو تسعة. أخيرًا، مع بقاء الميداليات الذهبية والفضية خارج المنافسة على البرونزية، لا تزال هناك ثمان خيارات لمن قد يفوز بهذه الميدالية.

وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للطرق التي يمكن من خلالها منح الميداليات هو = 10 × 9 × 8 = 720.

يمكننا استخدام نفس المنطق لتحديد صيغة عامة لعدد (ر) من التباديل الممكنة للعناصر (ن).

نظرية حساب التباديل

عدد التباديل الممكنة (ر) للعناصر (ن) هو = ن × (ن-1) × (ن-2) × ……. × (ن-ر+1)

الإثبات: هناك عدد (ن) من الطرق يمكن من خلالها اختيار العنصر الأول، ولكل طريقة من هذه الطرق المحتملة يتبقى عدد (ن-1) من العناصر للاختيار للعنصر الثاني، وهكذا سيكون من السهل جدًا أن يكون لدينا نموذج أقصر لعدد التباديل للعناصر (ن).

تعريف مضروب العدد

مضروب (ن) ويُرمز له بالرمز: ن! = ن × (ن-1) × (ن-2) × ……… × 3 × 2 × 1

كما أن عدد التباديل (ن) الممكنة لعدد من العناصر (ن) = ن! = ن × (ن – 1) × (ن-2) × …. × 3 × 2 × 1.

كما أن: مضروب (صفر) = (صفر)! = 1.

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة عدد التباديل (ر) للعناصر (ن) والذي يُرمز له بالرمز ^ن ل _ر بحيث:

^ن ل _ر = ن! ÷ (ن-ر)!

وعندما تكون ر = ن، فإن:

^ن ل _ن = ن! ÷ (ن-ن)! = ن! ÷ (صفر)! = ن!

مثال على التباديل

هناك 36 شخصًا في ورشة عمل. يجلسون على ستة موائد مستديرة لستة أشخاص.

طُلب من ثلاثة زملاء من نفس القسم الجلوس معًا (جنبًا إلى جنب).

كم عدد ترتيبات المقاعد المختلفة الممكنة على مائدتهم؟

أولا، هناك عدد 3! = 6 من الطرق لترتيب جلوس زملاء القسم الثلاثة على الطاولة.

ونظرًا لأن الطاولات مستديرة، لا يهم أي مقاعد محددة يتم شغلها.

بمجرد أن يجلس الثلاثة، يكون ذلك بعدد طرق = 3 × 2 × 1 = 6 طرق.

ثم يتم تحديد الكراسي الثلاثة المتبقية بشكل فريد من خلال مواقفها بالنسبة للزملاء الثلاثة، (واحد إلى اليمين، وواحد إلى اليسار، وواحد مقابلهم).

هناك 33 شخص آخر في المؤتمر، إذن نحن بحاجة إلى اختيار ثلاثة من هؤلاء الأشخاص وترتيبهم في المقاعد الثلاثة الشاغرة.

وبالتالي يوجد 33! / (33 – 3)! = 33! / 30! طريقة للقيام بذلك. باستخدام قاعدة الضرب فإنه يمكن حساب المجموع، بحيث يكون لدينا 6 × (33! / 30!) = 196,416 طريقة للجلوس على طاولة الزملاء في هذا القسم.

تمارين على التباديل

استخدم ما تعلمته عن التباديل لحل المشاكل التالية. قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى قاعدة الجمع وقاعدة الضرب:

1. ستة أشخاص، يمكن لجميعهم العزف على البيانو والغيتار، مطلوب شخصين منهم لتشكيل فريق موسيقي للعزف على جيتار واحد وبيانو واحد. كم عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل الفريق؟
2. خلال إنشاءك كلمة مرور مكونة من 8 أحرف، يُسمح لك باستخدام أي من الأحرف الصغيرة الإنجليزية الـ 26، ويجب عليك استخدام رقم واحد بالضبط (من 0 إلى 9) في مكان ما في كلمة المرور. لا يُسمح لك باستخدام أي حرف أكثر من مرة. كم عدد كلمات المرور المختلفة التي يمكنك إنشاؤها؟
3. كم عدد “الكلمات” المكونة من 3 أحرف (سلاسل الأحرف، لا يجب أن تكون كلمات في الواقع) التي يمكنك تكوينها من أحرف الكلمة STRONG؟ وكم عدد هذه الكلمات التي تحتوي على حرف S؟ (لا يمكنك استخدام حرف أكثر من مرة).
4. كم عدد التباديل من مجموعة العناصر {0، 1، 2، 3، 4، 5، 6} التي ليس فيها أرقام زوجية متجاورة؟ على سبيل المثال، لا يُسمح بالتبديل مثل 5034216 لأن 4 و2 متجاوران.

التوافيق

في بعض الأحيان لا يهم الترتيب الذي يتم فيه اختيار الأفراد؛ كل ما يهم هو ما إذا تم اختيارهم أم لا. مثال على ذلك هو اختيار مجموعة من الأسئلة في أحد الامتحانات. على الرغم من أن الترتيب الذي يتم به ترتيب الأسئلة قد يجعل الامتحان أكثر أو أقل تخويفًا، إلا أن ما يهم حقًا هو الأسئلة الموجودة في الاختبار وأيها ليس كذلك. مثال آخر هو اختيار القمصان لحزمها في رحلة (بافتراض أن جميع قمصانك مميزة عن بعضها البعض). يُطلق على مثل هذا الاختيار اسم “توافيق”، للإشارة إلى أن مجموعة الأشياء المختارة هي التي توفيقها واختيارها، وليس الترتيب.

تعريف التوافيق

لتكن (ن) عدد صحيح موجب، صفر ≤ ن ≤ ر

لو كان لدينا عدد (ن) من العناصر المميزة، فإنه يمكن تأليف توليفة (ر) من هذه العناصر تكون عبارة عن مجموعة فرعية من (ن). ويرمز لها بالرمز ^ن ق _ر

لذا، تشتمل المجموعة على اختيار عناصر من مجموعة محدودة حيث يتم تحديد كل عنصر بشكل فريد، ولكن الترتيب الذي يتم به الاختيار غير مهم.

مرة أخرى، يجب ألا تفاجأ عندما تعلم (نظرًا لأننا ندرس التعداد) أن ما سنطلبه هو عدد التوافيق أو التركيبات الموجودة في مجموعة متنوعة من الظروف. أحد الاختلافات المهمة عن التبديلات هو أنه ليس من المثير للاهتمام أن نسأل عن عدد مجموعات (ن) التي يمكن اختيارها من العناصر (ن)، لأن هناك مجموعة واحدة فقط، حيث يجب أن نختار كل العناصر. وهذا يتم التعبير عنه بالرموز بما يلي:

^{ن ق _ن} = 1

مثال لتوضيح مفهوم التوافيق

بكم طريقة يمكن اختيار عدد (3) أشخاص من مجموعة مكونة من عشرة أشخاص؟

في المثال السابق، الرياضيون العشرة الذين يتنافسون على الميداليات الأولمبية في التزلج السريع للرجال (1000 متر)، سيتم اختيار ثلاثة لتشكيل لجنة لمراجعة قواعد المسابقات المستقبلية.

كم عدد اللجان المختلفة التي يمكن تشكيلها؟

في المثال السابق، استنتجنا أن هناك عدد من الطرق = 10! / 7! والتي يمكن بها تعيين الفائزين بالميداليات.

تتمثل إحدى الطرق السهلة لاختيار اللجنة في جعلها تتكون من الفائزين بالميداليات الثلاثة.

ومع ذلك، لاحظ أنه في حالة (على سبيل المثال) فاز أي منهم بأي من الميداليات الثلاثة فسوف نحصل بالنهاية على نفس اللجنة.

في الواقع، ما تعلمناه عن التباديل يخبرنا أن هناك عدد = 3! نتائج توزيع الميداليات المختلفة من شأنها أن تؤدي إلى تشكيل اللجنة من نفس الفائزين الثلاثة.

في الواقع، لا يوجد شيء مميز في أي من الرياضيين الثلاثة، لأنه لأي اختيار من ثلاثة أشخاص ليكونوا في اللجنة، هناك 3! = 6 طرق يمكن من خلالها منح هؤلاء الأفراد الميداليات. لذلك، عندما حسبنا عدد الطرق التي يمكن من خلالها تخصيص الميداليات، حسبنا كل لجنة من 3 أعضاء ممكنة = 3! = 6 مرات.

لذا فإن عدد اللجان المختلفة هو 10! / (7! × 3!) = 10 × 9 × 8 ÷ 6 = 120.

يمكننا استخدام نفس المنطق لتحديد صيغة عامة لعدد التوافيق (ر) الممكن تشكيلها من مجموعة من العناصر (ن):

نظرية حساب عدد التوافيق

عدد التوافيق (ر) الممكن تشكيلها من مجموعة من العناصر (ن) = ^ن ق _ر ، حيث:

^ن ق _ر = ن! ÷ (ر! × (ن – ر)!)

البرهان

بواسطة نظرية حساب التباديل:

هناك عدد من التباديل الممكنة لعناصر المجموعة (ن) وهو:

^ن ل _ر = ن! / (ن – ر)!.

لنفترض أننا عرفنا أن هناك عدد (ك) مجموعات فرعية (ر) غير مرتبة لعناصر (ن)، (أي مجموعات ر).

لكل من هذه المجموعات الفرعية غير المرتبة، هناك عدد ر! من الطرق التي يمكننا من خلالها ترتيب هذه العناصر.

هذا يخبرنا بأن:

ك × ر! = ن! ÷ (ر! × (ن-ر)!)

بإعادة الترتيب:

ك = ن! ÷ ( ر! × (ن – ر)! )

كما أن هذه النتيجة تثبت أن عدد (ر) من التوافيق هو أقل من عدد (ر) من التباديل التي يمكن تشكيلها من نفس العدد (ن) من العناصر.

ملاحظة

تُستخدم ^ن ق _ر للتعبير عن عدد التوافيق (ر) التي يمكن تشكيلها من عدد (ن) من العناصر، وتُقرأ كما يلي: نون قاف راء.

وبالتالي يكون:

^ن ق _ر = ن! ÷ ( ر! × (ن – ر)! )

لاحظ أنه عندما يكون: ن = ر، يكون لدينا:

^ن ق _ن = ن! ÷ ( ن! × (ن – ن)! )

^ن ق _ن = ن! ÷ ( ن! × (1)! )

^ن ق _ن = ن! ÷ ( ن! )

أي أن:

^ن ق _ن = 1

بالتزامن مع ملاحظتنا السابقة أن هناك طريقة واحدة فقط لجميع العناصر (ن) التي يمكن اختيارها.

وبالمثل، يمكن استنتاج أن:

^ن ق _صفر = ن! ÷ ( صفر! × (ن – صفر)! )

^ن ق _صفر = 1

أي أن هناك طريقة واحدة فقط بالضبط لعدم لاختيار أي من العناصر (ن).

مثال على التوافيق في التركيبات التعدادية

تحمل “فاطمة” ثلاث أوراق من أوراق اللعب العادية (من أصل 52 ورقة). وهي تقول إن الأوراق جميعها من نوع الكبة، وأنها تحمل على الأقل واحدة من أعلى ورقتين (الآس والملك). إذا كنا ترغب في سرد ​​جميع مجموعات البطاقات المحتملة التي قد تكون بحوزتها، فكم سوف يكون عدد هذه التركيبات أو المجموعات؟

سننظر في هذه المسألة من خلال ثلاث حالات:

1. أن “فاطمة” تحتفظ بالآس (ولكن ليس الملك)؛
2. أنها تحتفظ بالملك (ولكن ليس الآس)؛
3. أو أنها تحتفظ بكل من الآس والملك.

إذا كانت “فاطمة” تحمل الآس وليس الملك، فمن أصل إحدى عشر بطاقة أخرى من نوع الكبة المتبقية، فيجب أن تحمل بطاقتين اثنين. أي أنه يوجد عدد ¹¹ ق ₂ من الطرق الممكنة لتحقيق ذلك.

وبالمثل، إذا كانت “فاطمة” تحتفظ بالملك وليس الآس، فمن أصل إحدى عشرة بطاقة أخرى من نوع الكبة المتبقية، يجب أن تحمل اثنين بطاقتين اثنين، وهذا يتحقق بعدد ¹¹ ق ₂ من الطرق.

أخيرًا، إذا كانت “فاطمة” تحمل الآس والملك معًا، فهي تحمل بطاقة ثالثة من نوع الكبة من الإحدى عشرة بطاقة الأخرى، وبالتالي يوجد ¹¹ ق ₁ من الطرق لتحقيق ذلك.

الآن لحساب مجموع كل الطرق الممكنة، سيكون علينا جمع كل ما سبق، لأن المطلوب هو إيجاد عدد الطرق في الحالة الأولى (أو) الثانية (أو) الثالثة، (قاعدة الجمع).

إجمالي عدد الطرق = ¹¹ ق ₂ + ¹¹ ق ₂ + ¹¹ ق ₁

إجمالي عدد الطرق = ((11! ÷ ( 2! × 9!)) + ((11! ÷ ( 2! × 9!)) + ((11! ÷ ( 1! × 10!))

إجمالي عدد الطرق = (11 × 10 ÷ 2) + (11 × 10 ÷ 2) + (11)

أو:

إجمالي عدد الطرق = 55 + 55 + 11

أي أن إجمالي عدد الطرق الممكنة = 121

تحليل آخر

فيما يلي تحليل آخر يمكن أن يوصلنا إلى نفس النتيجة:

بتقسيم المسألة إلى حالتين يتم التعبير عنهما كما يلي:

طالما أنها تمسك الآس أو الملك على الأقل، فيكون لدينا حالتين:

إما أنها تمسك الآس وليس الملك، أو أنها تمسك الملك وليس الآس.

إذا كانت تمسك الآس، يتبقى (12) بطاقة أخرى من نوع الكبة، وعدد طرق تحقيق ذلك هو ¹²ق₂، وبالمثل في حالة أنها تمسك بورقة الآس، يكون لدينا عدد من الطرق لتحقيق الممكنة للبطاقتين المتبقيتين ¹²ق₂، وبالتالي يكون لدينا:

إجمالي عدد الطرق = ¹² ق ₂ + ¹² ق ₂

أو:

إجمالي عدد الطرق = 66 + 66 = 132 طريقة

ولكن تكمن مشكلة في هذا التحليل في أننا قمنا بحساب المجموعات التي تتضمن كلا من الآس والملك معًا مرتين: مرة عند إيجاد طرق المجموعة التي تتضمن الآس ومرة عند إيجاد المجموعة التي تتضمن الملك.

وبالتالي يكون المطلوب هنا طرح عدد الطرق التي تُعبر عن إحدى هاتين الحالتين وهو ¹¹ق₁ = 11؛

فتكون النتيجة:

إجمالي عدد الطرق = 66 + 66 – 11 = 121 طريقة.

تمارين على التوافيق

1. استخدم ما تعلمته في التوافيق لحل المسائل التالية: (قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى التباديل وقواعد الحساب الأخرى التي تناولناها في هذا الموضوع).
2. للحصول على خدعة سحرية، تطلب من صديق سحب ثلاث بطاقات من مجموعة قياسية مكونة من عدد (52) بطاقة. كم عدد التركيبات من مجموعات البطاقات الممكنة التي قد يختارها صديقك؟
3. كم عدد الأعداد المكونة من 5 أرقام (خانات) التي تحتوي على صفرين بالضبط؟ (دون اعتبار لمكان الصفرين، أي أن يتم التعامل مع الناتج وكأنه نص حرفي وليس ارقام).
4. يحتوي متجر الآيس كريم على (10) نكهات من الآيس كريم و(7) أنواع من الإضافات. الحجم الأكبر من العلب يمكن أن يشتمل على اختيار (3) من نكهات الآيس كريم وأي (4) طبقات من الإضافات. الزبون يجب أن يختار بالضبط ثلاث نكهات مختلفة من الآيس كريم وأربع إضافات مختلفة في هذا الحجم. كم عدد التركيبات أو الطرق التي يمكن أن يشتري بها الزبون هذا الحجم من الآيس كريم؟

المصدر

• Combinatorics, An upper-level introductory course in enumeration, graph theory, and design theory, by: Joy Morris, University of Lethbridge.
• أساسيات التركيبات التعدادية، ترجمة وإعداد، د. مصطفى عبيد، إصدار: موسوعة الرياضيات والإحصاء، مركز البحوث والدراسات متعدد التخصصات، 2020.